Question

【題目】如圖，∠AOB＝α，∠COD＝β（α＞β），OC與OB重合，OD在∠AOB外，射線OM、ON分別是∠AOC、∠BOD的角平分線．

（1）①若α＝100°，β＝60°，則∠MON等于多少；

②在①的條件下∠COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜100（且n≠60）時(shí)，求∠MON的度數(shù)；

（2）直接寫出∠COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜360）時(shí)∠MON的值（用含α、β的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）①∠MON＝80°；②∠MON＝80°；（2）∠MON＝（α+β）或180°﹣（α+β）．

【解析】

（1）①根據(jù)角平分線的定義求出∠BOM和∠CON的度數(shù)，然后相加即可得出答案；

②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠BOC=n°，分兩種情況進(jìn)行討論：如圖1，∠BOD＝60°﹣n°，∠AOC＝100°﹣n°，根據(jù)角平分線的定義得出∠COM和∠BON的度數(shù)，然后根據(jù)∠MON＝∠COM+∠COB+∠BON進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)論；如圖2，∠BOD＝n°﹣60°，∠AOC＝100°﹣n°，根據(jù)角平分線的定義得出∠COM和∠BON的度數(shù)，然后根據(jù)∠MON＝∠COM+∠COD+∠BON進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)①、②的解題思路即可得到結(jié)論．

（1）①∵OM，ON分別是∠AOC，∠BOD的角平分線，

∴∠BOM＝∠AOB，∠BON＝∠BOD，

∴∠MON＝（∠AOB+∠BOD），

又∵∠AOB＝100°，∠COD＝60°，

∴∠MON＝（∠AOB+∠BOD）＝×（100°+60°）＝80°．

②如圖1，∵∠COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°，

∴∠BOC＝n°，

∴∠BOD＝60°﹣n°，∠AOC＝100°﹣n°，

∵OM，ON分別是∠AOC，∠BOD的角平分線，

∴∠COM＝∠AOC＝50°﹣n°，∠BON＝∠BOD＝30°﹣n°，

∴∠MON＝∠COM+∠COB+∠BON＝80°；

如圖2，∵∠COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°，

∴∠BOC＝n°，

∴∠BOD＝n°﹣60°，∠AOC＝100°﹣n°，

∵OM，ON分別是∠AOC，∠BOD的角平分線，

∴∠COM＝∠AOC＝50°﹣n°，∠DON＝∠BOD＝n°﹣30°，

∴∠MON＝∠COM+∠COD+∠DON＝80°；

（2）∵OM為∠AOD的平分線，ON為∠BOC的平分線，∠AOB＝α，∠COD＝β，

∴∠MON＝（α+β）或180°﹣（α+β）；