Question

【題目】在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，E為邊AC上一點，連接BE．

(1)如圖1，若∠ABE=15°，O為BE中點，連接AO，且AO=1，求BC的長；

(2)如圖2，D為AB上一點，且滿足AE=AD，過點A作AF⊥BE交BC于點F，過點F作FG⊥CD交BE的延長線于點G，交AC于點M，求證：BG=AF+FG．

Answer 1

【答案】（1） （2）證明見解析

【解析】

（1）如圖1中，在AB上取一點M，使得BM=ME，連接ME．，設(shè)AE=x，則ME=BM=2x，AM=x，根據(jù)AB2+AE2=BE2，可得方程（2x+x）2+x2=22，解方程即可解決問題．
（2）如圖2中，作CQ⊥AC，交AF的延長線于Q，首先證明EG=MG，再證明FM=FQ即可解決問題．

解：如圖 1 中，在 AB 上取一點 M，使得 BM=ME，連接 ME．

在 Rt△ABE 中，∵OB=OE，

∴BE=2OA=2，

∵MB=ME，

∴∠MBE=∠MEB=15°，

∴∠AME=∠MBE+∠MEB=30°，設(shè) AE=x，則 ME=BM=2x，AM=x，

∵AB2+AE2=BE2，

∴，

∴x= （負(fù)根已經(jīng)舍棄），

∴AB=AC=（2+ ） ，

∴BC= AB= +1．

作 CQ⊥AC，交 AF 的延長線于 Q，

∵ AD=AE ，AB=AC ，∠BAE=∠CAD，

∴△ABE≌△ACD（SAS），

∴∠ABE=∠ACD，

∵∠BAC=90°，F(xiàn)G⊥CD，

∴∠AEB=∠CMF，

∴∠GEM=∠GME，

∴EG=MG，

∵∠ABE=∠CAQ，AB=AC，∠BAE=∠ACQ=90°，

∴△ABE≌△CAQ（ASA），

∴BE=AQ，∠AEB=∠Q，

∴∠CMF=∠Q，

∵∠MCF=∠QCF=45°，CF=CF，

∴△CMF≌△CQF（AAS），

∴FM=FQ，

∴BE=AQ=AF+FQ=AF=FM，

∵EG=MG，

∴BG=BE+EG=AF+FM+MG=AF+FG．