Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+1經過A（﹣1，0），B（1，1）兩點．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）閱讀理解：
在同一平面直角坐標系中，直線l1：y=k1x+b1（k1 ， b1為常數，且k1≠0），直線l2：y=k2x+b2（k2 ， b2為常數，且k2≠0），若l1⊥l2 ， 則k1k2=﹣1．
解決問題：
①若直線y=3x﹣1與直線y=mx+2互相垂直，求m的值；
②拋物線上是否存在點P，使得△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）M是拋物線上一動點，且在直線AB的上方（不與A，B重合），求點M到直線AB的距離的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：將A，B點坐標代入，得

，

解得 ，

拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+1；

（2）解：①由直線y=3x﹣1與直線y=mx+2互相垂直，得

3m=﹣1，

即m=﹣ ；

②AB的解析式為y= x+ ，

當PA⊥AB時，PA的解析式為y=﹣2x﹣2，

聯立PA與拋物線，得

，

解得 （舍）， ，即P（6，﹣14）；

當PB⊥AB時，PB的解析式為y=﹣2x+3，

聯立PB與拋物線，得 ，

解得 （舍） 即P（4，﹣5），

綜上所述：△PAB是以AB為直角邊的直角三角形，點P的坐標（6，﹣14）（4，﹣5）；

（3）解：如圖

，

∵M（t，﹣ t2+ t+1），Q（t， t+ ），

∴MQ=﹣ t2+

S△MAB= MQ|xB﹣xA

= （﹣ t2+ ）×2

=﹣ t2+ ，

當t=0時，S取最大值 ，即M（0，1）．

由勾股定理，得

AB= = ，

設M到AB的距離為h，由三角形的面積，得

h= = ．

點M到直線AB的距離的最大值是 ．

【解析】（1）利用待定系數法把A、B兩點的坐標代入解析式即可求出a、b；（2）分類討論，A或B為直角頂點兩類，利用“閱讀理解”的結論“相互垂直的直線的斜率k 乘積=-1”構建方程，求出直線解析式，再和拋物線聯立方程組，得出交點即P坐標;（3）三角形的底邊AB是定值，要求距離最大值就須求面積的最大值，須過M點作x軸的垂線，把三角形MAB分割成兩個有豎直邊的三角形，構建以M的橫坐標t 為自變量的函數S,求出其最大值，再利用三角形面積公式，求出此時的點M到AB的距離，就是最大距離.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的最值的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a．