Question

【題目】我們定義：在一個三角形中，如果一個角的度數是另一個角度數的3倍，那么這樣的三角形我們稱之為“和諧三角形”．如：三個內角分別為105°，40°，35°的三角形是“和諧三角形”

概念理解：如圖1，∠MON＝60°，在射線OM上找一點A，過點A作AB⊥OM交ON于點B，以A為端點作射線AD，交線段OB于點C（點C不與O，B重合）

（1）∠ABO的度數為　 　，△AOB　 　（填“是”或“不是”）“和諧三角形”；

（2）若∠ACB＝80°，求證：△AOC是“和諧三角形”．

應用拓展：如圖2，點D在△ABC的邊AB上，連接DC，作∠ADC的平分線交AC于點E，在DC上取點F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和諧三角形”，求∠B的度數．

Answer 1

【答案】概念理解：（1）30°，是；（2）見解析；應用拓展：∠B＝36°或∠B＝．

【解析】

（1）根據垂直的定義、三角形內角和定理求出∠ABO的度數，根據“和諧三角形”的概念判斷；

（2）根據“和諧三角形”的概念證明即可；

應用拓展：根據比較的性質得到∠EFC＝∠ADC，根據平行線的性質得到∠DEF＝∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根據角平分線的定義得到∠ADE＝∠CDE，求得∠B＝∠BCD，根據“和諧三角形”的定義求解即可．

解：（1）∵AB⊥OM，

∴∠OAB＝90°，

∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，

∵∠OAB＝3∠ABO，

∴△AOB為“和諧三角形”，

故答案為：30；是；

（2）證明：∵∠MON＝60°，∠ACB＝80°，

∵∠ACB＝∠OAC+∠MON，

∴∠OAC＝80°﹣60°＝20°，

∵∠AOB＝60°＝3×20°＝3∠OAC，

∴△AOC是“和諧三角形”；

應用拓展：

∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，

∴∠EFC＝∠ADC，

∴AD∥EF，

∴∠DEF＝∠ADE，

∵∠DEF＝∠B，

∴∠B＝∠ADE，

∴DE∥BC，

∴∠CDE＝∠BCD，

∵AE平分∠ADC，

∴∠ADE＝∠CDE，

∴∠B＝∠BCD，

∵△BCD是“和諧三角形”，

∴∠BDC＝3∠B，或∠B＝3∠BDC，

∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，

∴∠B＝36°或∠B＝．