Question

如圖，矩形ABCD中，點E、F分別從A、D兩點同時出發，以相同的速度作直線運動.點E在線段AB上運動，點F沿射線CD運動，連結EF、AF、AC，EF分別交AD和AC 于點O、H．
（1）求證：EO=OF；
（2）當點E運動到什么位置時，EF=AC,在備用圖1中畫出圖形并說明理由；
（3）當點E運動到什么位置時，∠FAD=∠CAD,在備用圖2中畫出圖形并說明理由，此時設四邊形CDOH的面積為S，四邊形ABCF的面積為S，請直接寫出S：S的值．

Answer 1

（1）證明見解析；
（2）點E在AB的中點．理由見解析；
（3）點E與點B重合，S₁：S₂=．

試題分析：（1）由矩形的性質就可以得出∠EAD=∠FDA=90°，根據AE=DF就可以得出△AOE≌△DOF就可以得出結論；
（2）作EG⊥CD于G，由矩形的性質就可以得出△EGF≌△ADC就可以得出結論；
（3）如圖3，由∠FAD=∠CAD就可以得出△ADF≌△ADC就可以得出DF=DC，得出AF=CD=AB而得出結論．
試題解析：（1）證明：如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=DC，∠DAB=∠ADC=∠B=∠BCD=90°．
在△AOE和△DOF中，
，
∴△AOE≌△DOF（AAS），
∴EO=OF；
（2）點E在AB的中點．
理由：如圖2，作EG⊥CD于G，
∴∠EGF=90°，
∴四邊形AEGD是矩形，
∴EG=AD．AE=DG．
∴FD=DG，
∴DG=FG，
在Rt△ADC和Rt△EGF中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△EGF（HL），
∴FG=DC，
∴DG=DC，
∴AE=AB，
∴點E是AB的中點；
（3）點E與點B重合
理由：在△ADF和△ADC中
，
∴△ADF≌△ADC（ASA），
∴FD=CD，
∴AE=CD，
∴AE=AB，
∴點E與點B重合．
∵四邊形ABCD是矩形
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△AOH∽△CBH，△AHB∽△
∴，
∴S_△AOH：S_△CBH=1：4，S_△OH：S_△ABH=1：2．
設S_△AOH=a，則S_△ABH=2a，S_△CBH=4a，
∴S_△ABC=6a，S_△ADC=6a，
∴S四邊形ABCF=18a，S四邊形CDOH=5a，
∴S四邊形CDOH：S四邊形ABCF=，
即S₁：S₂=．
．