Question

正方形ABCD的頂點A在直線MN上，點O是對角線AC、BD的交點，過點O作OE⊥MN于點E，過點B作BF⊥MN于點F．

（1）如圖1，當O、B兩點均在直線MN上方時，易證：AF+BF=2OE（不需證明）
（2）當正方形ABCD繞點A順時針旋轉至圖2、圖3的位置時，線段AF、BF、OE之間又有怎樣的關系？請直接寫出你的猜想，并選擇一種情況給予證明．

Answer 1

（1）見解析   （2）見解析

思路分析：（1）過點B作BG⊥OE于G，可得四邊形BGEF是矩形，根據矩形的對邊相等可得EF=BG，BF=GE，根據正方形的對角線相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根據同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角邊”證明△AOE和△OBG全等，根據全等三角形對應邊相等可得OG=AE，OE=BG，再根據AF-EF=AE，整理即可得證；
（2）選擇圖2，過點B作BG⊥OE交OE的延長線于G，可得四邊形BGEF是矩形，根據矩形的對邊相等可得EF=BG，BF=GE，根據正方形的對角線相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根據同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角邊”證明△AOE和△OBG全等，根據全等三角形對應邊相等可得OG=AE，OE=BG，再根據AF-EF=AE，整理即可得證；選擇圖3同理可證．
解：（1）證明：如圖，過點B作BG⊥OE于G，
則四邊形BGEF是矩形，
∴EF=BG，BF=GE，
在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，
∵BG⊥OE，
∴∠OBG+∠BOE=90°，

又∵∠AOE+∠BOE=90°，
∴∠AOE=∠OBG，
∵在△AOE和△OBG中，
，
∴△AOE≌△OBG（AAS），
∴OG=AE，OE=BG，
∵AF-EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE-GE=OE-BF，
∴AF-OE=OE-BF，
∴AF+BF=2OE；
（2）圖2結論：AF-BF=2OE，
圖3結論：AF-BF=2OE．
對圖2證明：過點B作BG⊥OE交OE的延長線于G，
則四邊形BGEF是矩形，
∴EF=BG，BF=GE，
在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，
∵BG⊥OE，
∴∠OBG+∠BOE=90°，
又∵∠AOE+∠BOE=90°，
∴∠AOE=∠OBG，
∵在△AOE和△OBG中，
，
∴△AOE≌△OBG（AAS），
∴OG=AE，OE=BG，
∵AF-EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF，
∴AF-OE=OE+BF，
∴AF-BF=2OE；
若選圖3，其證明方法同上．
點評：本題考查了正方形的性質，矩形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，同角的余角相等的性質，作輔助線構造出全等三角形與矩形是解題的關鍵，也是本題的難點．