Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x+b與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2﹣4ax+4經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B，并與x軸相交于另一點(diǎn)C，對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn) D．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）求證：△BOD∽△AOB；

（3）如果點(diǎn)P在線段AB上，且∠BCP＝∠DBO，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4（2）證明見解析（3）（，）

【解析】

（1）利用直線表達(dá)式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，把這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式即可求解；

（2）利用兩個(gè)三角形夾角相等、夾邊成比例，即可證明△BOD∽△AOB；

（3）證明△BCP∽△BAC，則，求出BP的長(zhǎng)度，即可求解．

解：（1）∵拋物線y＝ax2﹣4ax+4經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)B在y軸上，

∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），

∵直線y＝﹣x+b與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，

∴b＝4，

∴直線y＝﹣x+4，

當(dāng)y＝0時(shí)，x＝8，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0），

∵拋物線y＝ax2﹣4ax+4經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B，

∴a×82﹣4a×8+4＝0，解得，a＝，

∴拋物線y＝x2+x+4；

（2）證明：∵y＝x2+x+4＝+，該拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)D，

令y＝0，解得：x＝﹣4和8，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣4，0），即：OC＝4，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0），∴OD＝2，

∵點(diǎn)B（0，4），

∴OB＝4，

∵點(diǎn)A（8，0），

∴OA＝8，

∴, ，

∴，

∵∠BOD＝∠AOB＝90°，

∴△BOD∽△AOB；

（3）連接CP，∵△BOD∽△AOB，

∴∠OBD＝∠BAO＝α，∠BCP＝∠DBO＝α，

∴∠BCP＝∠BAO＝α，而∠CPB＝∠CBP，

∴△BCP∽△BAC，則，

其中，BC＝4 ，AB＝4，代入上式并解得：BP＝，

過點(diǎn)P作x軸的平行線交y軸于點(diǎn)H，

∵PH∥x軸，

∴，

即：，解得：PH＝，

即：點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為：，

同理可得其縱坐標(biāo)為，

即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．