Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點C在x軸的負半軸上，點A在y軸正半軸上，矩形OABC的面積為8．把矩形OABC沿DE翻折，使點B與點O重合，點C落在第三象限的G點處，作EH⊥x軸于H，過E點的反比例函數y＝圖象恰好過DE的中點F．則k＝_____，線段EH的長為：_____．

Answer 1

【答案】-2 2

【解析】

連接BO與ED交于點Q，過點Q作QG⊥x軸，垂足為G，可通過三角形全等證得BO與ED的交點就是ED的中點F，由相似三角形的性質可得S△OGF＝S△OCB，根據反比例函數比例系數的幾何意義可求出k，從而求出S△OAE，進而可以得到AB＝4AE，即BE＝3AE．由軸對稱的性質可得OE＝BE，從而得到OE＝3AE，也就有AO＝2AE，根據△OAE的面積可以求出AE，OA的值．易證四邊形OAEH為矩形，從而得到EH＝OA，就可求出EH的值．

解：連接BO與ED交于點Q，過點Q作QN⊥x軸，垂足為N，如圖所示，

∵矩形OABC沿DE翻折，點B與點O重合，

∴BQ＝OQ，BE＝EO．

∵四邊形OABC是矩形，

∴AB∥CO，∠BCO＝∠OAB＝90°．

∴∠EBQ＝∠DOQ．

在△BEQ和△ODQ中，

．

∴△BEQ≌△ODQ（ASA）．

∴EQ＝DQ．

∴點Q是ED的中點．

∵∠QNO＝∠BCO＝90°，

∴QN∥BC．

∴△ONQ∽△OCB．

∴．

∴S△ONQ＝ S△OCB．

∵S矩形OABC＝8，

∴S△OCB＝S△OAB＝4．

∴S△ONQ＝．

∵點F是ED的中點，

∴點F與點Q重合．

∴S△ONF＝．

∵點F在反比例函數y＝上，

∴＝．

∵k＜0，

∴k＝﹣2．

∴S△OAE＝＝．

∵S△OAB＝4，

∴AB＝4AE．

∴BE＝3AE．

由軸對稱的性質可得：OE＝BE．

∴OE＝3AE．OA＝＝2AE．

∴S△OAE＝AOAE＝×2AE×AE＝．

∴AE＝1．

∴OA＝2×1＝2．

∵∠EHO＝∠HOA＝∠OAE＝90°，

∴四邊形OAEH是矩形．

∴EH＝OA＝2．

故答案分別為：﹣2、2．