Question

【題目】如圖，拋物線y=ax-2x+c(a≠0)與x軸，y軸分別交于點A，B，C三點，已知點(-2,0)，C(0,-8)，點D是拋物線的頂點.

(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

(2)如圖，拋物線的對稱軸與x軸交于點E，第四象限的拋物線上有一點P，將△EB直線EP折疊，使點B的對應點B'落在拋物線的對稱軸上，求點P的坐標；

Answer 1

【答案】(1)y=x2﹣2x﹣8；D(1，﹣9)；(2)P(，)．

【解析】

（1）將點A、點C的坐標代入拋物線的解析式可求得a、c的值，從而得到拋物線的解析式，最后利用配方法可求得點D的坐標；
（2）將y=0代入拋物線的解析式求得點B的坐標，然后由拋物線的對稱軸方程可求得點E的坐標，由折疊的性質可求得∠BEP=45°，設直線EP的解析式為y=-x+b，將點E的坐標代入可求得b的值，從而可求得直線EP的解析式，最后將直線EP的解析式和拋物線的解析式聯立組成方程組求解即可.

解：(1)將點A、點C的坐標代入拋物線的解析式得：，

解得：a=1，c=﹣8．

∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣8．

∵y=(x﹣1)2﹣9，

∴D(1，﹣9)．

(2)將y=0代入拋物線的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2，

∴B(4，0)．

∵y=(x﹣1)2﹣9，

∴拋物線的對稱軸為x=1，

∴E(1，0)．

∵將△EBP沿直線EP折疊，使點B的對應點B'落在拋物線的對稱軸上，

∴EP為∠BEF的角平分線．

∴∠BEP=45°．

設直線EP的解析式為y=﹣x+b，將點E的坐標代入得：﹣1+b=0，解得b=1，

∴直線EP的解析式為y=﹣x+1．

將y=﹣x+1代入拋物線的解析式得：﹣x+1=x2﹣2x﹣8，解得：x=或x=．

∵點P在第四象限，

∴x=．

∴y=．

∴P(，)．