Question

【題目】如圖， 內接于⊙， ， 的平分線與⊙交于點，與交于點，延長，與的延長線交于點，連接， 是的中點，連接.

(1)判斷與的位置關系，寫出你的結論并證明;

(2)求證: ;

(3)若，求⊙的面積.

Answer 1

【答案】（1）OG⊥CD（2）證明見解析（3）6π

【解析】試題分析：（1）根據G是CD的中點，利用垂徑定理證明即可；

（2）先證明△ACE與△BCF全等，再利用全等三角形的性質即可證明；

（3）構造等弦的弦心距，運用相似三角形以及勾股定理進行求解．

試題解析：（1）解：猜想OG⊥CD．證明如下：

如圖1，連接OC、OD．∵OC=OD，G是CD的中點，∴由等腰三角形的性質，有OG⊥CD．

（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，而∠CAE=∠CBF（同弧所對的圓周角相等）．在Rt△ACE和Rt△BCF中，∵∠ACE=∠BCF=90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF，∴Rt△ACE≌Rt△BCF（ASA），∴AE=BF．

（3）解：如圖2，過點O作BD的垂線，垂足為H，則H為BD的中點，∴OH=AD，即AD=2OH，又∠CAD=∠BADCD=BD，∴OH=OG．在Rt△BDE和Rt△ADB中，∵∠DBE=∠DAC=∠BAD，∴Rt△BDE∽Rt△ADB，∴，即BD2=ADDE，∴．又BD=FD，∴BF=2BD，∴①，設AC=x，則BC=x，AB= ．∵AD是∠BAC的平分線，∴∠FAD=∠BAD．在Rt△ABD和Rt△AFD中，∵∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD，∠FAD=∠BAD，∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA），∴AF=AB= ，BD=FD，∴CF=AF﹣AC= ．在Rt△BCF中，由勾股定理，得： ②，由①、②，得，∴x2=12，解得： 或（舍去），∴，∴⊙O的半徑長為，∴S⊙O=π（）2=6π．