Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，將△ABC繞點C逆時針旋轉α角（0°＜α＜90°），得到△A1B1C，連接BB1，設CB1交AB于D，A1B1分別交AB，AC于E，F

（1）求證：△CBD≌△CA1F；

（2）試用含α的代數式表示∠B1BD；

（3）當α等于多少度時，△BB1D是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠B1BD＝45°﹣；（3）當△BB1D為等腰三角形時，α＝30°．

【解析】

（1）根據已知條件，利用旋轉的性質及全等三角形的判定方法，來判定三角形全等；
（2）利用等腰直角三角形的性質得到∠CBA=45°．然后由旋轉的性質推知BC=B1C，則∠CB1B=∠CBB1，所以根據三角形內角和定理進行解答即可；
（3）當△BBD是等腰三角形時，要分別討論B1B=B1D、BB1=BD、B1D=DB三種情況，第一，三種情況不成立，只有第二種情況成立，求得α=30°．

（1）證明：∵AC＝BC，

∴∠A＝∠ABC．

∵△ABC繞點C逆時針旋轉角α（0°＜α＜90°）得到△A1B1C，

∴∠A1＝∠A，A1C＝AC，∠ACA1＝∠BCB1＝α．

∴∠A1＝∠CBD，A1C＝BC．

在△CBD與△CA1F中，

，

∴△CBD≌△CA1F（ASA）．

（2）∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，

∴∠CAB＝∠CBA＝45°．

又由旋轉的性質得到BC＝B1C，則∠CB1B＝∠CBB1，

∴∠CB1B＝∠CBB1＝＝90°﹣．

∴∠B1BD＝∠CBB1﹣∠CBA＝90°﹣﹣45°＝45°﹣；

（3）在△CBB1中，∵CB＝CB1

∴∠CBB1＝∠CB1B＝（180°﹣α）．

又∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC＝45°．

①若B1B＝B1D，則∠B1DB＝∠B1BD，

∵∠B1DB＝45°+α，∠B1BD＝∠CBB1﹣45°＝（180°﹣α）﹣45°＝45°﹣，

∴45°+α＝45°﹣，

∴α＝0°（舍去）；

②∵∠BB1C＝∠B1BC＞∠B1BD，

∴BD＞B1D，即BD≠B1D；

③若BB1＝BD，則∠BDB1＝∠BB1D，即45°+α＝（180°﹣α），α＝30°

由①②③可知，當△BB1D為等腰三角形時，α＝30°．