Question

【題目】已知：平行四邊形ABCD，求作菱形AECF，使點E、點F分別在BC、AD邊上

下面是小明設計的尺規作圖過程.

作法：如圖

① 連接AC；

② 分別以A、C為圓心，大于AC的長為半徑作弧，兩弧交于M、N兩點；

③ 連接MN，分別與BC、AD、AC交于E、F、O三點；

④ 連接AE、CF

四邊形AECF即為所求

根據小明設計的尺規作圖過程

（1）使用直尺和圓規，補全圖形：（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明

證明∵AM= ，AN= ，

∴MN是AC的垂直平分線。

（ ）（填推理的依據）

∴EF⊥AC，OA=OC，

∴平行四邊形ABCD

∴AD∥BC

∴∠FAO=∠ECO

在△FAO和△ECO中

∴△FAO≌△ECO

∴OE=OF

又∵OA=OC

∴四邊形AECF是平行四邊形

（ ）（填推理依據）

∵EF⊥AC

∴四邊形AECF是菱形

（ ）（填推理依據）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）根據作法畫出圖形即可．

（2）先證明四邊形AECF為平行四邊形，然后利用對角線垂直的平行四邊形為菱形得到結論．

解：（1）如圖，四邊形AECF為所求作的菱形．

（2）證明：∵AM＝CM，AN＝CN，

∴MN是AC的垂直平分線，（到線段兩端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上）

∴EF⊥AC，OA＝OC

∵平行四邊形ABCD

∴AD∥BC

∴∠FAO＝∠ECO，

在△FAO和△ECO中，，

∴△FAO≌△ECO，

∴OE＝OF

又∵OA＝OC

∴四邊形AECF是平行四邊形，（對角線互相平分的四邊形為平行四邊形）

∵EF⊥AC，

∴四邊形AECF是菱形．（對角線互相垂直的平行四邊形為菱形）.

故答案為：CM，CN，到線段兩端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上；對角線互相平分的四邊形為平行四邊形；對角線互相垂直的平行四邊形為菱形．