Question

【題目】在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉，得到 △A1BC1．

（1）如圖1，當點C1在線段CA的延長線上時，求∠CC1A1的度數；

（2）如圖2，連接AA1，CC1．若△ABA1的面積為4，求△CBC1的面積；

（3）如圖3，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC 繞點 B 按逆時針方向旋轉過程中，點P的對應點是點P1，求線段EP1長度的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）；（3），7.

【解析】試題分析：（1）由旋轉的性質可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，根據等邊對等角得到∠CC1B=∠C1CB=45°，根據∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B得解；

（2）通過證明△ABA1∽△CBC1，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方得到，，據此解得△CBC1的面積；

（3）過點B作BD⊥AC，D為垂足，求得BD=，①當P在AC上運動至垂足點D，使點P的對應點P1在線段AB上時，EP1=BP1﹣BE；②當P在AC上運動至點C，使點P的對應點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大，EP1=BC+BE．

試題解析：解：（1）∵由旋轉的性質可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，

∴∠CC1B=∠C1CB=45°，

∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°；

（2）∵由旋轉的性質可得：△ABC≌△A1BC1，

∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1，

∴，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1，

∴∠ABA1=∠CBC1，

∴△ABA1∽△CBC1，

∴，

∵S△ABA1=4，∴S△CBC1=．

（3）過點B作BD⊥AC，D為垂足，

∵△ABC為銳角三角形，∴點D在線段AC上，

在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=，

①如圖1，當P在AC上運動至垂足點D，△ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P1在線段AB上時，EP1最小．最小值為：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=﹣2．

②如圖2，當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大，最大值為：EP1=BC+BE=5+2=7．