Question

【題目】在一次數學探究活動課中，某同學有一塊矩形紙片ABCD，已知AD=15，AB=9，M為線AD上的一個動點，將△ABM沿BM折疊得到△MBN，若△NBC是直角三角形，則AM長為__________．

Answer 1

【答案】3或27

【解析】

根據四邊形ABCD為矩形以及折疊的性質得到∠A＝∠MNB＝90°，由M為AD上的一個動點可知若△NBC是直角三角形，∠NBC＝90°與∠NCB＝90°都不符合題意，只有∠BNC＝90°．然后分 N在矩形ABCD內部與 N在矩形ABCD外部兩種情況進行討論，利用勾股定理求得結論即可．

解：∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠BAD＝90°，

∵將△ABM沿BM折疊得到△MBN，

∴∠MAB＝∠MNB＝90°．

∵M為射線AD上的一個動點，△NBC是直角三角形，

∴∠NBC＝90°與∠NCB＝90°都不符合題意，

∴只有∠BNC＝90°．

①當∠BNC＝90°，N在矩形ABCD內部，如圖1．

∵∠BNC＝∠MNB＝90°，

∴M、N、C三點共線，

∵AB＝BN＝9，BC＝15，∠BNC＝90°，

∴NC＝12，

設AM＝MN＝x，則MD＝15x，MC＝12＋x，

在Rt△MDC中，CD2＋MD2＝MC2，即92＋（15x）2＝（12＋x）2，

解得x＝3；

③當∠BNC＝90°，N在矩形ABCD外部時，如圖2．

∵∠BNC＝∠MNB＝90°，

∴M、C、N三點共線，

∵AB＝BN＝9，BC＝15，∠BNC＝90°，

∴NC＝12，

設AM＝MN＝y，則MD＝y15，MC＝y12，

在Rt△MDC中，CD2＋MD2＝MC2，即92＋（y15）2＝（y12）2，

解得y＝27，

綜上，AM的長為：3或27．

故答案為：3或27．