Question

【題目】已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=AC，E，F分別是AB，CD的中點，連接CE并延長交DA的延長線于M，連接AF并延長交BC的延長線于N．

（1）求證：△ABN≌△CDM；

（2）當平行四邊形ABCD的邊或角滿足什么關系時，四邊形AECF是正方形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當∠B=45°時，四邊形AECF是正方形，理由見解析.

【解析】

（1）根據平行四邊形得到AB=CD，AB∥CD，∠B=∠D，根據線段中點的定義得到AE=AB，CF=CD，推出四邊形AECF是平行四邊形，得到四邊形AECF是矩形，根據全等三角形的判定定理得到結論；

（2）根據直角三角形的性質即可得到結論．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AB∥CD，∠B=∠D，

∵E，F分別是AB，CD的中點，

∴AE=AB，CF=CD，

∴AE=CF，

∵AE∥CF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵AC=CB，

∴CE⊥AB，

∴∠AEC=90°，

∴四邊形AECF是矩形，

∴∠BAN=∠DCM=90°，

在△ABN與△CDM中，，

∴△ABN≌△CDM（ASA）；

（2）解：當∠B=45°時，四邊形AECF是正方形，

理由：∵BC=AC，

∴∠B=∠BAC=45°，

∵E是AB的中點，

∴CE⊥AB，

∴AE=EC，

∴矩形AECF是正方形．