Question

如圖，直線l經過⊙O的圓心O，且與⊙O交于A、B兩點，點C在⊙O上，且∠AOC＝30°，點P是直線l上的一個動點(與圓心O不重合)，直線CP與⊙O相交于另一點Q，如果QP＝QO，則∠OCP＝         ．

Answer 1

20或40或100

試題分析：解：①根據題意，畫出圖（1），
在△QOC中，OC=OQ，∴∠OQC=∠OCP，
在△OPQ中，QP=QO，∴∠QOP=∠QPO，
又∵∠AOC=30°，∴∠QPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+30°，
在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，即（∠OCP+30°）+（∠OCP+30°）+∠OCP=180°，
整理得，3∠OCP=120°，∴∠OCP=40°．
②當P在線段OA的延長線上（如圖2）
∵OC=OQ，∴∠OQP=（180°-∠QOC）×①，
∵OQ=PQ，∴∠OPQ=（180°-∠OQP）×②，
在△OQP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°③，
把①②代入③得：60°+∠QOC=∠OQP，
∵∠OQP=∠QCO，∴∠QOC+2∠OQP=∠QOC+2（60°+∠QOC）=180°，
∴∠QOC=20°，則∠OQP=80°∴∠OCP=100°；
③當P在線段OA的反向延長線上（如圖3），
∵OC=OQ，∴∠OCP=∠OQC=（180°-∠COQ）×①，
∵OQ=PQ，∴∠P=（180°-∠OQP）×②，
∵∠AOC=30°，∴∠COQ+∠POQ=150°③，
∵∠P=∠POQ，2∠P=∠OCP=∠OQC④，①②③④聯立得∠P=10°，
∴∠OCP=180°-150°-10°=20°．
故答案為：40°、20°、100°．
點評：本題難度較高。主要考查了圓的認識及等腰三角形等邊對等角的性質，先假設存在并進行分類討論是進行解題的關鍵．