Question

如圖，Rt△AOB是一張放在平面直角坐標系中的三角形紙片，點O與原點重合，點A在x軸上，點B在y軸上OB=

3

，∠BAO=30°，將Rt△AOB折疊，使OB邊落在AB邊上，點O與點D重合，折痕為BE．
（1）求點E和點D的坐標；
（2）求經過O、D、A三點的二次函數解析式；
（3）設直線BE與（2）中二次函數圖象的對稱軸交于點F，M為OF中點，N為AF中點，在x軸上是否存在點P，使△PMN的周長最小，若存在，請求出點P的坐標和最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）據題意可得∠1=

1

2

∠ABO，OB=BD=

3

，DE=OE，
∵Rt△AOB中，∠BAO=30°，
∴∠ABO=60°，OA=3，AB=2

3

，
∴∠1=30°，A（3，0），B（0，

3

）．
Rt△EOB中，∵tan∠1=

OE

OB

∴

OE

3

=

3

3

∴OE=1，∴E點坐標為（1，0）；
過點D作DG⊥OA于G，易知D是AB的中點，且A（3，0），B（0，

3

），
則OG=

1

2

OA=1.5，DG=

1

2

OB=

3

2

；
故D（1.5，

3

2

）．

（2）∵二次函數的圖象經過x軸上的O、A兩點，設二次函數的解析式為y=a（x-x₁）（x-x₂）；
據（1）得A點坐標為（3，0），
∴x₁=0，x₂=3，
把D點坐標（1.5，

3

2

）代入y=a（x-0）（x-3）
得a=-

2 3

9

，
∴二次函數的解析式為y=-

2 3

9

x2+

2 3

3

x．

（3）設直線BE的解析式為y=k₁x+b₁，把（0，

3

）和（1，0）分別代入y=k₁x+b₁
得：

k1=- 3 b1= 3

，
直線BE的解析式為y=-

3

x+

3

，
∵把x=1.5代入y=-

3

x+

3

得：y=-

3

2

，
F點坐標為（1.5，-

3

2

），M點坐標為（

3

4

，-

3

4

），N點坐標為（

9

4

，-

3

4

），
M點關于x軸對稱的點的坐標為M'（

3

4

，

3

4

），
設直線M'N的解析式為y=k₂x+b₂，把（

3

4

，

3

4

）和（

9

4

，-

3

4

）分別代入y=k₂x+b₂
得：k2=-

3

3

，b2=

3

2

，
∴直線M'N的解析式為y=-

3

3

x+

3

2

，
把y=0代入y=-

3

3

x+

3

2

得x=

3

2

，
∴x軸上存在點P，使△PMN的周長最小，P點坐標為（

3

2

，0），PM=

( 3 2 - 3 4 )2+(0- 3 4 )2

=

3

2

，PN=

( 3 2 - 9 4 )2+(0- 3 4 )2

=

3

2

，
∴△PMN周長=

3

2

+

3

2

+

3

2

=

3

2

+