Question

已知如圖，對稱軸為直線x=4的拋物線y=ax²+2x與x軸相交于點B、O．
（1）求拋物線的解析式．
（2）連接AB，平移AB所在的直線，使其經過原點O，得到直線l．點P是l上一動點，當△PAB的周長最小時，求點P的坐標．
（3）當△PAB的周長最小時，在直線AB的上方是否存在一點Q，使以A，B，Q為頂點的三角形與△POB相似？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．（規定：點Q的對應頂點不為點O）

Answer 1

（1）∵對稱軸為直線x=-

2

2a

=4，
∴a=-

1

4

，
∴拋物線解析式為y=-

1

4

x²+2x；

（2）∵y=-

1

4

x²+2x=-

1

4

（x²-8x+16）+4=-

1

4

（x-4）²+4，
∴頂點坐標為A（4，4），
令y=0，則-

1

4

x²+2x=0，
解得x₁=0，x₂=8，
∴點B的坐標為（8，0），
設直線AB的解析式為y=kx+b，
則

4k+b=4 8k+b=0

，
解得

k=-1 b=8

，
所以，直線AB的解析式為y=-x+8，
∵直線l為直線AB平移至經過原點的直線，
∴直線l的解析式為y=-x，
如圖，取點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B交直線l于點P，則△PAB的周長最小，
此時，點A（-4，-4），
點P為線段A′B的中點，
∵

-4+8

2

=2，

-4+0

2

=-2，
∴點P的坐標為（2，-2）；

（3）∵直線AB的解析式為y=-x+8，
∴直線AB與x軸、對稱軸的夾角的銳角為45°，
又∵l∥AB，
∴∠POB=45°，
根據勾股定理，AB=

42+(8-4)2

=4

2

，
PO=

22+22

=2

2

，
①∠BAQ=∠POB=45°時，∵△POB∽△BAQ，
∴

PO

AB

=

OB

AQ

，
即

2 2

4 2

=

8

AQ

，
解得AQ=16，
∴Q的橫坐標為16+4=20，縱坐標為4，
∴點Q的坐標為（20，4）；
②∠ABQ=∠POB=45°時，∵△POB∽△ABQ，
∴

PO

AB

=

OB

BQ

，
即

2 2

4 2

=

8

BQ

，
解得BQ=16，
∴點Q的坐標為（8，16），
綜上所述，存在點Q（20，4）或（8，16）使以A，B，Q為頂點的三角形與△POB相似．