Question

【題目】如圖所示，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作圓O，與斜邊交于點D，E為BC邊上的中點，連接DE．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）連接OE，AE，當∠CAB為何值時，四邊形AOED是平行四邊形？并在此條件下求sin∠CAE的值．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】分析：（1）要證DE是⊙O的切線，必須證ED⊥OD，即∠EDB+∠ODB=90°
（2）要證AOED是平行四邊形，則DE∥AB，D為AC中點，又BD⊥AC，所以△ABC為等腰直角三角形，所以∠CAB=45°，再由正弦的概念求解即可．

詳解：（1）證明：連接O、D與B、D兩點，

∵△BDC是Rt△，且E為BC中點，

∴∠EDB=∠EBD．（2分）

又∵OD=OB且∠EBD+∠DBO=90°，

∴∠EDB+∠ODB=90°．

∴DE是⊙O的切線．

（2）解：∵∠EDO=∠B=90°，

若要四邊形AOED是平行四邊形，則DE∥AB，D為AC中點，

又∵BD⊥AC，

∴△ABC為等腰直角三角形．

∴∠CAB=45°．

過E作EH⊥AC于H，

設BC=2k，則EH=k，AE=k，

∴sin∠CAE=．