Question

【題目】已知函數f（x）=|2x﹣a|+a．
（1）若不等式f（x）≤6的解集為{x|﹣2≤x≤3}，求實數a的值；
（2）在（1）的條件下，若存在實數n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）=|2x﹣a|+a，

故不等式f（x）≤6，

即 ，

求得 a﹣3≤x≤3．

再根據不等式的解集為{x|﹣2≤x≤3}，

可得a﹣3=﹣2，

∴實數a=1

（2）解：在（1）的條件下，f（x）=|2x﹣1|+1，

∴f（n）=|2n﹣1|+1，存在實數n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，

即f（n）+f（﹣n）≤m，即|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m．

由于|2n﹣1|+|2n+1|≥|（2n﹣1）﹣（2n+1）|=2，

∴|2n﹣1|+|2n+1|的最小值為2，

∴m≥4，

故實數m的取值范圍是[4，+∞）

【解析】（1）通過討論x的范圍，求得a﹣3≤x≤3．再根據不等式的解集為{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，從而求得實數a的值．（2）在（1）的條件下，f（n）=|2n﹣1|+1，即f（n）+f（﹣n）≤m，即|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m．求得|2n﹣1|+|2n+1|的最小值為2，可得m的范圍．