Question

【題目】已知∠MON=90°，有一根長為10的木棒AB的兩個端點A、B分別在射線OM,ON上滑動，∠OAB的角平分線AD交OB于點D.

（1）如圖（1），若OA=6，則OB= ，OD= ；

（2）如圖（2），過點B作BE⊥AD,交AD的延長線于點E,連接OE,在AB滑動的過程中，線段OE,BE有何數量關系，并說明理由；

（3）若點P是∠MON內部一點，在（1）的條件下，當△ABP是以AB為斜邊的等腰直角三角形時，OP2= ；

（4）在AB滑動的過程中，△AOB面積的最大值為 .

·圖（1） 圖（2） 備用圖

Answer 1

【答案】（1）8；3；（2）相等；(3)98;(4)25.

【解析】試題分析：（1）由勾股定理得到OB的長．由角平分線性質得到OD的長；

（2）延長BE交AO的延長線于F點．證明△BAE≌△FAE，得到BE=EF．

再由直角三角形斜邊上的直線等于斜邊的一半即可得到結論．

（3）過P作PE⊥OB于E，PF⊥OM于F．則△PFA≌△PEB，FOEP是正方形，設OE=x，則PE=x，EB=8-x，MA=x-6，由8-x=x-6，解方程得到x的值，在Rt△OEP中，由勾股定理即可得到結論；

（4）設OA=x，OB=y，面積為S，則S= ， ，由 ，得到 ，故 ，從而有S= ≤25，即可得到結論．

試題解析：解：（1）∵AB=10，AO=6，∴OB= 8．∵AD平分∠OAB，∴OA：AB=OD：DB，∴6：10=OD：（8-OD），解得： OD=3；

（2）相等 ．理由如下：

延長BE交AO的延長線于F點．∵AE是∠BAO的角平分線，∴∠BAE=∠FAE．

∵BE⊥AD，∴∠AEF=∠AEB=90°．∵AE=AE，∴△BAE≌△FAE，∴BE=EF．

在Rt△BOF中， ∠BOF=90°，∴OE=BE．

（3）過P作PE⊥OB于E，PF⊥OM于F．∵AP=BP，∠APB=90°，∴AP=BP= AB=.∵∠PFO=∠PEO=∠BOA=90°，∴∠EPF=90°，∴∠FPA=∠EPB．在△PFA和△PEB中，∵∠FPA=∠EPB，∠PFA=∠PEB，PA=PB，∴△PFA≌△PEB，∴PF=PE，FA=EB，∴FOEP是正方形，∴PF=OE=PE=FO，設OE=x，則PE=x，EB=8-x，MA=x-6，∴8-x=x-6，解得：x=7，在Rt△OEP中， ==98；

（4）解：設OA=x，OB=y，面積為S，則S= ， ，∵ ，∴ ，∴ ，∴xy≤50，∴S= ≤25．∴△AOB面積的最大值為25．