Question

【題目】如圖，等邊三角形的邊長為4,點是△的中心，.繞點旋轉,分別交線段于兩點，連接,給出下列四個結論:①;②;③四邊形的面積始終等于;④△周長的最小值為6,上述結論中正確的個數是( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

連接BO，CO，可以證明△OBD≌△OCE，得到BD=CE，OD=OE，從而判斷①正確；

通過特殊位置，當D與B重合時，E與C重合，可判斷△BDE的面積與△ODE的面積的大小，從而判斷②錯誤；

由△OBD≌△OCE，得到四邊形ODBE的面積=△OBC的面積，從而判斷③正確；

過D作DI⊥BC于I．設BD=x，則BI=，DI=．由BD=EC，BC=4，得到BE=4－x，IE= ．在Rt△DIE中，DE== =，△BDE的周長=BD+BE+DE= 4+DE，當DE最小時，△BDE的周長最小，從而判斷出④正確．

連接BO，CO，過O作OH⊥BC于H．

∵O為△ABC的中心，∴BO=CO，∠DBO=∠OBC=∠OCB=30°，∠BOC=120°．

∵∠DOE=120°，∴∠DOB=∠COE．在△OBD和△OCE中，∵∠DOB=∠COE，OB=OC，∠DBO=∠ECO，∴△OBD≌△OCE，∴BD=CE，OD=OE，故①正確；

當D與B重合時，E與C重合，此時△BDE的面積=0，△ODE的面積＞0，兩者不相等，故②錯誤；

∵O為中心，OH⊥BC，∴BH=HC=2．

∵∠OBH=30°，∴OH=BH=，∴△OBC的面積==．

∵△OBD≌△OCE，∴四邊形ODBE的面積=△OBC的面積=，故③正確；

過D作DI⊥BC于I．設BD=x，則BI=，DI=．

∵BD=EC，BC=4，∴BE=4－x，IE=BE-BI=．在Rt△DIE中，DE== = =，當x=2時，DE的值最小為2，△BDE的周長=BD+BE+DE=BE+EC+DE=BC+DE=4+DE，當DE最小時，△BDE的周長最小，∴△BDE的周長的最小值=4+2=6．故④正確．

故選C．