Question

在等腰△ABC中，已知AB=AC=5cm，BC=6cm，動點P、Q分別從A、B兩點同時出發，沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是1 cm/秒．當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動，設點P的運動時間為t（秒）．
（1）當t為何值時，PQ⊥AB？
（2）設四邊形APQC的面積為ycm²，寫出y關于t的函數關系式及定義域；
（3）分別以P、Q為圓心，PA、BQ長為半徑畫圓，若⊙P與⊙Q相切，求t的值；
（4）在P、Q運動中，△BPQ與△ABC能否相似？若能，請求出AP的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過A作AH⊥BC，垂足為H，根據三角函數cos∠B得出等量關系，求出t的值；
（2）等量關系S_{四邊形APQC=}S_△ABC-S_△BPQ得出y關于t的函數關系式及定義域；
（3）以P、Q為圓心，PA、BQ長為半徑畫圓，若⊙P與⊙Q相切，兩圓只能外切，根據圓與圓的外切位置關系，求t的值；
（4）△BPQ與△ABC相似，∠B公共，∠A=∠BPQ，或∠A=∠BQP，得出AP的長．

解答：解：（1）過A作AH⊥BC，垂足為H，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=

1

2

BC=3．（1分）
又∵PQ⊥AB，
∴cos∠B=

BH

AB

=

BP

BQ

．（1分）
∴

3

5

=

5-t

t

．
∴t=

25

8

．（1分）

（2）過P作PM⊥BC，垂足為M，
∵PM⊥BCAH⊥BC，
∴PM∥AH．
∴

BP

BA

=

PM

AH

．（1分）
∴

5-t

5

=

PM

4

．
∴PM=4-

4

5

t．（1分）
∴S_△PBQ=2t-

2

5

t2．
∴y=S△ABC-S△PBQ=12-2t+

2

5

t2．（1分）
∴定義域：0＜t＜5．（1分）

（3）∵PA=BQ=t，
∴兩圓只能外切．（1分）
過Q作QN⊥AB，垂足為N，
∵sin∠B=

AH

AB

=

4

5

，
在Rt△BNQ中，
∴QN=

4

5

t，BN=

3

5

t，PN=5-

8

5

t．
又∵∠PNQ=90°，
∴(2t)2=(5-

8

5

t)2+(

4

5

t)2．（1分）
∴t=-10+

5

2

21

；

（4）能，有二種情況：
①∵△BPQ∽△BAC，
∴

BP

BA

=

BQ

BC

．（1分）
∴

5-t

5

=

t

6

．
∴t=

30

11

．（1分）
②∵△BPQ∽△BCA，
∴

BP

BC

=

BQ

BA

．（1分）
∴

5-t

6

=

t

5

．
∴t=

25

11

．（1分）
∴當t=

30

11

或t=

25

11

秒時，兩個三角形相似．
即當AP=

30

11

或AP=

25

11

秒時，兩個三角形相似．

點評：本題綜合考查了直線與圓、圓與圓的位置關系，相似三角形的判定和性質，是一個探究性性的題目，一定要分析各種情況，不要落漏．