Question

（2009•盧灣區(qū)二模）在等腰△ABC中，已知AB=AC=3，，D為AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB交BC邊于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC交AC邊于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)BD長(zhǎng)為何值時(shí)，以點(diǎn)F為圓心，線段FA為半徑的圓與BC邊相切；
（2）過(guò)點(diǎn)F作FP⊥AC，與線段DE交于點(diǎn)G，設(shè)BD長(zhǎng)為x，△EFG的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及其定義域．

Answer 1

【答案】分析：（1）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為點(diǎn)M，根據(jù)已知可求得BC的長(zhǎng)，再根據(jù)三角函數(shù)即可求得BD的長(zhǎng)．
（2）根據(jù)已知可得到△ABC∽△EFG，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求得函數(shù)解析式．
解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為點(diǎn)M，
在Rt△ABM中，cos∠B=，AB=3，
∴BM=1．
∵AB=AC，AM⊥BC，
∴BC=2．
設(shè)BD長(zhǎng)為x，
在Rt△BDE中，cos∠B=，
∴BE=3x，EC=2-3x．
同理FC=6-9x，F(xiàn)E=4-6x．
∴AF=9x-3．
由題意得9x-3=4-6x．
解得x=2-．

（2）∵DE⊥AB，EF⊥BC，
∴∠B+∠BED=90°，∠DEF+∠BED=90°．
∴∠B=∠DEF．
同理∠EFG=∠C．
∴△ABC∽△EFG．
∴=（）²
∴=（）²
∴y=36x²-48x+16．
∵△ABC∽△EFG，
∴BC：EF=AB：GE，
∴2：（4-6x）=3：GE，
∴GE=6-9x．
∵在△BDE中，∠BDE=90°，BD=x，BE=3x，
∴DE=2x．
∴DG=DE-GE=2x-（6-9x）=11x-6．
∵點(diǎn)G在線段DE上，EG為△EFG的一條邊，
∴DG≥0，且EG＞0，
∴11x-6≥0，且6-9x＞0，
解得≤x＜．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，弄清各邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．