Question

【題目】小黃準備給長8m，寬6m的長方形客廳鋪設瓷磚，現將其劃分成一個長方形ABCD區域Ⅰ（陰影部分）和一個環形區域Ⅱ（空白部分），其中區域Ⅰ用甲、乙、丙三種瓷磚鋪設，且滿足PQ∥AD，如圖所示．

（1）若區域Ⅰ的三種瓷磚均價為300元/m2 ， 面積為S（m2），區域Ⅱ的瓷磚均價為200元/m2 ， 且兩區域的瓷磚總價為不超過12000元，求S的最大值；
（2）若區域Ⅰ滿足AB：BC=2：3，區域Ⅱ四周寬度相等
①求AB，BC的長；
②若甲、丙兩瓷磚單價之和為300元/m2 ， 乙、丙瓷磚單價之比為5：3，且區域Ⅰ的三種瓷磚總價為4800元，求丙瓷磚單價的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意300S+（48﹣S）200≤12000，

解得S≤24．

∴S的最大值為24．

（2）

解：①設區域Ⅱ四周寬度為a，則由題意（6﹣2a）：（8﹣2a）=2：3，解得a=1，

∴AB=6﹣2a=4，CB=8﹣2a=6．

②設乙、丙瓷磚單價分別為5x元/m2和3x元/m2，則甲的單價為（300﹣3x）元/m2，

∵PQ∥AD，

∴甲的面積=矩形ABCD的面積的一半=12，設乙的面積為s，則丙的面積為（12﹣s），

由題意12（300﹣3x）+5xs+3x（12﹣s）=4800，

解得s= ，

∵0＜s＜12，

∴0＜ ＜12，

∴0＜x＜50，

∴丙瓷磚單價3x的范圍為0＜3x＜150元/m2．

【解析】（1）根據題意可得300S+（48﹣S）200≤12000，解不等式即可；（2）①設區域Ⅱ四周寬度為a，則由題意（6﹣2a）：（8﹣2a）=2：3，解得a=1，由此即可解決問題；②設乙、丙瓷磚單價分別為5x元/m2和3x元/m2 ， 則甲的單價為（300﹣3x）元/m2 ， 由PQ∥AD，可得甲的面積=矩形ABCD的面積的一半=12，設乙的面積為s，則丙的面積為（12﹣s），由題意12（300﹣3x）+5xs+3x（12﹣s）=4800，解得s= ，由0＜s＜12，可得0＜ ＜12，解不等式即可；
【考點精析】認真審題，首先需要了解矩形的性質(矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等)．