Question

【題目】綜合與實踐
背景閱讀 早在三千多年前，我國周朝數學家商高就提出：將一根直尺折成一個直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被記載于我國古代著名數學著作《周髀算經》中，為了方便，在本題中，我們把三邊的比為3：4：5的三角形稱為（3，4，5）型三角形，例如：三邊長分別為9，12，15或3 ，4 ，5 的三角形就是（3，4，5）型三角形，用矩形紙片按下面的操作方法可以折出這種類型的三角形．
實踐操作 如圖1，在矩形紙片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm．
第一步：如圖2，將圖1中的矩形紙片ABCD沿過點A的直線折疊，使點D落在AB上的點E處，折痕為AF，再沿EF折疊，然后把紙片展平．
第二步：如圖3，將圖2中的矩形紙片再次折疊，使點D與點F重合，折痕為GH，然后展平，隱去AF．
第三步：如圖4，將圖3中的矩形紙片沿AH折疊，得到△AD′H，再沿AD′折疊，折痕為AM，AM與折痕EF交于點N，然后展平．

（1）請在圖2中證明四邊形AEFD是正方形．
（2）請在圖4中判斷NF與ND′的數量關系，并加以證明；
（3）請在圖4中證明△AEN（3，4，5）型三角形；
（4）在不添加字母的情況下，圖4中還有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？請找出并直接寫出它們的名稱．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠D=∠DAE=90°，

由折疊的性質得，AE=AD，∠AEF=∠D=90°，

∴∠D=∠DAE=∠AEF=90°，

∴四邊形AEFD是矩形，

∵AE=AD，

∴矩形AEFD是正方形

（2）

解：NF=ND′，

理由：連接HN，

由折疊得，∠AD′H=∠D=90°，HF=HD=HD′，

∵四邊形AEFD是正方形，

∴∠EFD=90°，

∵∠AD′H=90°，

∴∠HD′N=90°，

在Rt△HNF與Rt△HND′中， ，

∴Rt△HNF≌Rt△HND′，

∴NF=ND′

（3）

解：∵四邊形AEFD是正方形，

∴AE=EF=AD=8cm，

由折疊得，AD′=AD=8cm，

設NF=xcm，則ND′=xcm，

在Rt△AEN中，

∵AN2=AE2+EN2，

∴（8+x）2=82+（8﹣x）2，

解得：x=2，

∴AN=8+x=10cm，EN=6cm，

∴EN：AE：AN=3：4：5，

∴△AEN是（3，4，5）型三角形

（4）

解：圖4中還有△MFN，△MD′H，△MDA是（3，4，5）型三角形，

∵CF∥AE，

∴△CFN∽△AEN，

∵EN：AE：AN=3：4：5，

∴FN：CF：CN=3：4：5，

∴△MFN是（3，4，5）型三角形；

同理，△MD′H，△MDA是（3，4，5）型三角形．

【解析】（1）根據矩形的性質得到∠D=∠DAE=90°，由折疊的性質得得到AE=AD，∠AEF=∠D=90°，求得∠D=∠DAE=∠AEF=90°，得到四邊形AEFD是矩形，由于AE=AD，于是得到結論；（2）連接HN，由折疊的性質得到∠AD′H=∠D=90°，HF=HD=HD′，根據正方形的想知道的∠HD′N=90°，根據全等三角形的性質即可得到結論；（3）根據正方形的性質得到AE=EF=AD=8cm，由折疊得，AD′=AD=8cm，設NF=xcm，則ND′=xcm，根據勾股定理列方程得到x=2，于是得到結論；（4）根據（3，4，5）型三角形的定義即可得到結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解矩形的性質的相關知識，掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等，以及對相似三角形的應用的理解，了解測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解．