Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過A、B、C三點，已知點A（﹣3，0），B（0，m），C（1，0）．

（1）求m值；

（2）設點P是直線AB上方的拋物線上一動點（不與點A、B重合）．

①過點P作x軸的垂線，垂足為F，交直線AB于點E，作PD⊥AB于點D．動點P在什么位置時，△PDE的周長最大，求出此時P點的坐標；

②連接AP，并以AP為邊作等腰直角△APQ，當頂點Q恰好落在拋物線的對稱軸上時，求出對應的點P坐標．

Answer 1

【答案】（1）m的值為3；（2）①點P坐標為（﹣，）；②點P的坐標為（）、（﹣1﹣，2）、（﹣2，3）

【解析】

（1）只需把點A、C的坐標代入y=﹣x2+bx+c，就可求出拋物線的解析式，就可求出m的值．

（2）①易得△PDE是等腰直角三角形，PE最大時△PDE的周長就最大．用待定系數法求出直線AB的解析式，設點P的橫坐標為a，則點E的橫坐標也為a，則點P、E的縱坐標就可用a的代數式表示，PE的長度也就可以用a的代數式表示，然后運用二次函數的最值性就可求出PE最大（即△PDE的周長最大）時，點P的坐標．

②等腰直角△APQ的三邊都可能是底邊，故分三種情況進行討論，然后構造全等三角形，得到相等線段，然后用一個字母表示一條線段，從而將點P的坐標用該字母表示，然后代入拋物線的解析式，就可求出點P的坐標．

（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A（﹣3，0），C（1，0），∴．

解得：，∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3．

∵點B（0，m）在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上，∴m=3，∴m的值為3．

（2）①如圖1．

∵OA=OB=3，∠AOB=90°，∴∠AB0=45°．

∵PF⊥OA，PD⊥AB，∴∠PDA=∠EFA=90°=∠AOB，∴EF∥OB，∴∠PED=∠ABO=45°，∴PD=PEsin45°PE，DE=PEcos45°PE，∴△PDE的周長為（1）PE．

設直線AB的解析式為y=mx+n，則有．

解得：，∴直線AB的解析式為y=x+3．

設點P的橫坐標為a，則點E的橫坐標也為a，∴yP=﹣a2﹣2a+3，yE=a+3，∴PE=yP﹣yE=（﹣a2﹣2a+3）﹣（a+3）=﹣a2﹣3a=﹣（a）2．

∵﹣1＜0，∴當a時，PE取到最大值，△PDE的周長也就取到最大值．

此時yP=﹣（）2﹣2×（）+3，∴當點P坐標為（）時，△PDE的周長取到最大值．

②Ⅰ．若AQ為等腰直角△APQ的底邊，如圖2，則有AP=PQ，∠APQ=90°．

過點P作PG⊥OA，垂足為G，過點P作PT⊥QH，垂足為T．

∵∠PGH=∠GHT=PTH=90°，∴四邊形PGHT是矩形，∴∠GPT=90°，PT=GH，PG=HT，∴∠APG=90°﹣∠GPQ=∠TPQ．

在△AGP和△QTP中，，∴△AGP≌△QTP，∴AG=TQ，PG=PT，∴PG=GH．

∵拋物線y=﹣x2﹣2x+3的對稱軸為x1，∴OH=1．

設PG=t（t＞0），則OG=GH+OH=PG+OH=t+1．

∵點P在第二象限，∴點P的坐標為（﹣t﹣1，t）．

∵點P在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上，∴t=﹣（﹣t﹣1）2﹣2（﹣t﹣1）+3．

整理得：t2+t﹣4=0．

解得：t1（舍去），t2，∴點P的坐標為（）．

Ⅱ．若PQ為等腰直角△APQ的底邊，如圖3，則有AP=AQ，∠PAQ=90°．

過點P作PG⊥OA，垂足為G，則有∠APG=90°﹣∠PAG=∠HAQ．

在△AGP和△QHA中，，∴△AGP≌△QHA，∴PG=AH．

∵AH=AO﹣OH=3﹣1=2，∴PG=2，∴yP=2．

解﹣x2﹣2x+3=2得：x1=﹣1，x2=﹣1．

∵點P在第二象限，∴點P的坐標為（﹣1，2）．

Ⅲ．若AP為等腰直角△APQ的底邊，如圖4，則有AQ=PQ，∠AQP=90°．

過點P作PT⊥QH，垂足為T，則有∠AQH=90°﹣∠PQT=∠TPQ．

在△AHQ和△QTP中，∵∠AQH=∠TPQ，∠AHQ=∠QTP，QA=QP，∴△AHQ≌△QTP，∴AH=QT，QH=PT．

∵AH=2，∴QT=2．

設QH=PT=p（p＞0），則TH=p+2．

∵點P在第二象限，∴點P的坐標為（﹣p﹣1，p+2）．

∵點P在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上，∴p+2=﹣（﹣p﹣1）2﹣2×（﹣p﹣1）+3．

整理得：p2+p﹣2=0．

解得：p1=﹣2（舍去），p2=1，∴點P的坐標為（﹣2，3）．

綜上所述：點P的坐標為（）、（﹣1，2）、（﹣2，3）．