Question

已知：如圖，AB、CD相交于點O，AC∥DB，AO=BO，E、F分別是OC、OD中點．
（1）求證：DF=CE；
（2）若DB⊥BE，垂足為B，BD=6，BE=8，求四邊形AFBE的面積．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,三角形的面積

專題：幾何綜合題

分析：（1）先根據“AAS”證明△AOC≌△BOD，得到OC=OD，再根據線段中點即可證明DF=CE；
（2）由DB⊥BE，可得△DBE為直角三角形，再由BD=6，BE=8，求出△DBE的面積，再根據點E、F分別是OC、OD的中點，可得FD=OF=OE=CE，然后根據等底等高的三角形的面積相等可以得出S_△DBF=S_△FBO=S_△OBE，進而求出△FOB或△OBE的面積，再證明四邊形AEBF是平行四邊形，即可確定其面積．

解答：（1）證明：∵AC∥BD，
∴∠C=∠D，∠CAO=∠DBO，AO=BO．
∴△AOC≌△BOD．
∴CO=DO．
∵E、F分別是OC、OD的中點，
∴DF=

1

2

OD，CE=

1

2

OC．
∴DF=CE；
（2）解：∵∠DBE=90°，BD=6，BE=8，
∴S_△BDE=

1

2

BD•BE=

1

2

×6×8=24，
∵E、F分別是OC、OD中點，
∴FD=OF=OE=CE，
∴S_△BOF=

1

3

S_△BDE=

1

3

×24=8，
∵AO=BO，OF=OE，
∴四邊形AFBE是平行四邊形，
∴四邊形AFBE的面積=8×4=32．

點評：本題主要考查了全等三角形、平行四邊形的性質與判定，有一定的綜合綜合性，解決的關鍵是結合圖形，認真分析，選擇適當的方法判定三角形全等和平行四邊形．