Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝x2+bx+c過A，B，C三點，點A的坐標是（3，0），點C的坐標是（0，﹣3），動點P在拋物線上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若動點P在第四象限內的拋物線上，過動點P作x軸的垂線交直線AC于點D，交x軸于點E，垂足為E，求線段PD的長，當線段PD最長時，求出點P的坐標；

（3）是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）；（3）存在，點P的坐標為（1，﹣4）或（﹣2，5）．

【解析】

（1）將點A、C的坐標代入函數表達式得：即可求解；

（2）設點P（x，x2-2x-3），則點D（x，x-3），則PD=x-3-（x2-2x-3）=-x2+3x，即可求解；

（3）分∠ACP=90°、∠P′AC=90°兩種情況，分別求解．

（1）將點A、C的坐標代入函數表達式得：，解得：，

故：函數的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3…①；

（2）設直線AC的表達式為：y＝kx+b，則：，

故直線BC的表達式為：y＝x﹣3，

設點P（x，x2﹣2x﹣3），則點D（x，x﹣3），

∴PD＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，

∵﹣1＜0，拋物線開口向下，當x＝時，PD的最大值為，

此時，點P（，﹣）；

（3）存在，理由：

①當∠ACP＝90°時，

由（2）知，直線AC的表達式為：y＝x﹣3，

故直線CP的表達式為：y＝﹣x﹣3…②，

①②聯立并解得：x＝1或0（舍去x＝0），

故點P坐標為（1，﹣4）；

②當∠P′AC＝90°時，

設直線AP′的表達式為：y＝﹣x+b，

將x＝3，y＝0代入并解得：b＝3，

故：直線AP′的表達式為：y＝﹣x+3…③，

聯立①③并解得：x＝﹣2或3（舍去x＝3），

故：點P′的坐標為（﹣2，5）；

故點P的坐標為（1，﹣4）或（﹣2，5）．