Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線y＝x﹣3分別交x軸、y軸上的B、C兩點，設該拋物線與x軸的另一個交點為點A，頂點為點D，連接CD交x軸于點E．

（1）求該拋物線的表達式及點D的坐標；

（2）求∠DCB的正切值；

（3）如果點F在y軸上，且∠FBC＝∠DBA+∠DCB，求點F的坐標．

Answer 1

【答案】（1），D（4，1）；（2）；（3）點F坐標為（0，1）或（0，﹣18）．

【解析】

（1）y＝x﹣3，令y＝0，則x＝6，令x＝0，則y＝﹣3，求出點B、C的坐標，將點B、C坐標代入拋物線y＝﹣x2+bx+c，即可求解；

（2）求出則點E（3，0），EH＝EBsin∠OBC＝，CE＝3，則CH＝，即可求解；

（3）分點F在y軸負半軸和在y軸正半軸兩種情況，分別求解即可．

（1）y＝x﹣3，令y＝0，則x＝6，令x＝0，則y＝﹣3，

則點B、C的坐標分別為（6，0）、（0，﹣3），則c＝﹣3，

將點B坐標代入拋物線y＝﹣x2+bx﹣3得：0＝﹣×36+6b﹣3，解得：b＝2，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+2x﹣3，令y＝0，則x＝6或2，

即點A（2，0），則點D（4，1）；

（2）過點E作EH⊥BC交于點H，

C、D的坐標分別為：（0，﹣3）、（4，1），

直線CD的表達式為：y＝x﹣3，則點E（3，0），

tan∠OBC＝，則sin∠OBC＝，

則EH＝EBsin∠OBC＝，

CE＝3，則CH＝，

則tan∠DCB＝；

（3）點A、B、C、D、E的坐標分別為（2，0）、（6，0）、（0，﹣3）、（4，1）、（3，0），

則BC＝3，

∵OE＝OC，∴∠AEC＝45°，

tan∠DBE＝＝，

故：∠DBE＝∠OBC，

則∠FBC＝∠DBA+∠DCB＝∠AEC＝45°，

①當點F在y軸負半軸時，

過點F作FG⊥BG交BC的延長線與點G，

則∠GFC＝∠OBC＝α，

設：GF＝2m，則CG＝GFtanα＝m，

∵∠CBF＝45°，∴BG＝GF，

即：3+m＝2m，解得：m＝3，

CF＝＝m＝15，

故點F（0，﹣18）；

②當點F在y軸正半軸時，

同理可得：點F（0，1）；

故：點F坐標為（0，1）或（0，﹣18）．