Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx經過A（2，0），B（3，﹣3）兩點，拋物線的頂點為C，動點P在直線OB上方的拋物線上，過點P作直線PM∥y軸，交x軸于M，交OB于N，設點P的橫坐標為m．

（1）求拋物線的解析式及點C的坐標；
（2）當△PON為等腰三角形時，點N的坐標為；當△PMO∽△COB時，點P的坐標為；（直接寫出結果）
（3）直線PN能否將四邊形ABOC分為面積比為1：2的兩部分？若能，請求出m的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：根據題意，得 ，解這個方程組得

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x

當x=﹣ =1時，y=﹣x2+2x=1，

∴C（1，1）

（2）（1，﹣1），（2，﹣2），（3﹣ ， ﹣3）；（ ， ），（ ，﹣ ）
（3）

如圖1，作BD⊥x軸于D，作CE⊥x軸于E，交OB于F

則BD=OD=3，CE=OE=1，OC=AC

∴△ODB，△OCE，△AOC均為等腰直角三角形，

∴S四邊形ABOC=S△OAC+S△OAB= + OABD=4

∴∠AOC=∠AOB=∠OAC=45°

∵PM∥y軸，

∴OM⊥PN，∠MNO=∠AOB=45°，

∴OM=MN=m，OE=EF=1

①∵S△OCF= CFOE=1 ×4

∴當0＜m≤1時，不能滿足條件，

②當1＜m≤2時，如圖2，設PN交AC于Q，則MQ=MA=2﹣m，

S四邊形OCQN=S△OAC+S△OMN﹣S△AMQ= OACE+ OMMN﹣ AMMQ=2m﹣1，

由S四邊形OCQM= S四邊形ABOC，得2m﹣1= ×4，解得m= ，

而1＜ ＜2，符合題意，

由S四邊形OCQN= S四邊形ABOC，得2m﹣1= ，解得m=

而1＜ ＜2，符合題意，

③當2＜m＜3時，如圖2，作AG⊥x軸，交OB于G，

則AG=OA=2，AD=1

∴S△ABG= AGAD=1＜ ×4

∴當2＜m＜3時，不能滿足條件

∴m= 或m= ．

【解析】（2）①∵B（3，﹣3），
∴直線OB的解析式為y=﹣x，
∵P的橫坐標為m（0＜m＜3），
∴P（m，﹣m2+2m），
∴N（m，﹣m），
∴PN2=（﹣m2+3m）2 ， OP2=m2+（﹣m2+2m）2 ， ON2=2m2 ，
當△PON為等腰三角形時，
①當OP=ON時，m2+（﹣m2+2m）2=2m2 ，
∴m=0（舍）或m=1或m=3（舍），
∴N（1，﹣1）
②當OP=PN時，（﹣m2+3m）2=m2+（﹣m2+2m）2 ，
∴m=0（舍）或m=2，
∴N（2，﹣2），
③當ON=PN時，（﹣m2+3m）2=2m2 ，
∴m=0（舍）或m=3+ （舍）或m=3﹣ ，
∴N（3﹣ ， ﹣3），
所以答案是：（1，﹣1），（2，﹣2），（3﹣ ， ﹣3）
②∵P的橫坐標為m（0＜m＜3），
∴P（m，﹣m2+2m），
∴M（m，0），
∴PM=|﹣m2+2m|，OM=m，
∵B（3，﹣3），
∴OB=3，
由（1）知，C（1，1），
∴OC=1，
∵△PMO∽△COB，
∴ ，
∴ ，
∴m= 或m= ，
∴P（ ， ）或（ ，﹣ ），
所以答案是：（ ， ），（ ，﹣ ），
【考點精析】利用等腰直角三角形和等腰三角形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．