Question

數學家帕普斯借助函數給出一種“三等分銳角”的方法，步驟如下：
①將銳角∠AOB置于平面直角坐標系中，其中以點O為坐標原點，邊OB在x軸上；
②邊OA與函數y=

1

x

(x＞0)的圖象交于點P，以P為圓心，2倍OP的長為半徑作弧，在∠AOB內部交函數y=

1

x

(x＞0)的圖象于點R；
③過點P作x軸的平行線，過點R作y軸的平行線，兩直線相交于點M，連結OM．則∠MOB=

1

3

∠AOB．
請根據以上材料，完成下列問題：

（1）應用上述方法在圖1中畫出∠AOB的三等分線OM；
（2）設P(a，

1

a

)，R(b，

1

b

)，求直線OM對應的函數表達式（用含a，b的代數式表示）；
（3）證明：∠MOB=

1

3

∠AOB；
（4）應用上述方法，請嘗試將圖2所示的鈍角三等分．

Answer 1

（1）如圖所示：
；

（2）由圖1可得點M的坐標為（b，

1

a

），
故可得直線OM的表達式為：y=

1

ab

x．

（3）證明：過點P作y軸的平行線，過點R作x軸的平行線，兩線相交于點Q，

則點Q的坐標為（a，

1

b

），
∴點Q在OM上，
∴四邊形PQRM是矩形，
∴PN=

1

2

PR=OP，
∴MQ=PR，
∴PN=MN，
∴∠MOB=∠PMN=

1

2

∠PNO=

1

2

∠AOM，
∴∠MOB=

1

3

∠AOB．

（4）邊OA與函數y=-

1

x

（x＜0）的圖象交于點P，以點P為圓心，2OP的長為半徑作弧，
在第四象限交函數y=-

1

x

（x＞0）的圖象于點R，
過點P作x軸的平行線，過點R作y軸的平行線，兩直線相交于點M，連接OM，則∠MOB=

1

3

∠AOB．．