Question

如圖，矩形ABCD（點A在第一象限）與x軸的正半軸相交于M，與y的負半軸相交于N，AB∥x軸，反比例函數的圖象y=

k

x

過A、C兩點，直線AC與x軸相交于點E、與y軸相交于點F．
（1）若B（-3，3），直線AC的解析式為y=ax+b．
①求a的值；
②連接OA、OC，若△OAC的面積記為S_△OAC，△ABC的面積記為S_△ABC，記S=S_△ABC-S_△OAC，問S是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，請說明理由．
（2）AE與CF是否相等？請證明你的結論．

Answer 1

（1）①∵四邊形ABCD是矩形，且AB∥x軸，B（-3，3），
∴A（

k

3

，3）、C（-3，-

k

3

）．
∵y=ax+b經過A、C兩點，
∴

k 3 a+b=3 -3a+b=- k 3

，消去b得：（

k

3

+3）a=

k

3

+3．
∵k＞0，故

k

3

+3≠0，∴a=1．
②S=S_△ABC-S_△OAC=S_△ACD-S_△OAC=S_△AOM+S_△CON+S_矩形ONDM，
∴S=

k

2

+

k

2

+

k2

9

=

1

9

（k+

9

2

）²-

9

4

；
∴當k＞-

9

2

時，S隨k的增大而增大，
由于k＞0，故k沒有最小值，S也沒有最小值．

（2）AE=CF，理由如下：
連接MN，設AB與y軸的交點為P，BC與x軸的交點為Q；
則S_矩形APOM=S_矩形CQON=k，
∴DN•AD=DM•CD，即

DN

CD

=

DM

AD

，
又∵∠D=∠D，
∴△DNM∽△DCA，得∠DNM=∠DCA，
∴MN∥AC；
又∵AD∥y軸，故四邊形AFNM是平行四邊形，
同理四邊形CNME是平行四邊形，
∴CE=MN=AF，故AE=CF．