Question

【題目】如圖，邊長為的正方形中，點是上一點，點是上一點．點關于直線的對稱點恰好在延長線上，交于點．點為的中點，若，則=_____．

Answer 1

【答案】5

【解析】

連接DF，DG，過H作HP⊥AB于P，HQ⊥AD于Q，由點F，點G關于直線DE的對稱，得到DF=DG，根據正方形的性質得到AD=CD，∠ADC=∠A=∠BCD=90°，推出Rt△AFD≌Rt△CDG，證得△FDG是等腰直角三角形，推出四邊形APHQ是矩形，證得△HPF≌△DHQ，根據全等三角形的性質得到HP=HQ，證得APHQ為正方形，利用正方形性質聯系題中所給數據計算出正方形邊長，然后再利用△FPH∽△EHG求得EG長．

解：連接DF，DG，過H作HP⊥AB于P，HQ⊥AD于Q，

∵點F，點G關于直線DE的對稱，
∴DF=DG，
正方形ABCD中，

∵AD=CD，∠ADC=∠A=∠BCD=90°，
∴∠GCD=90°，又在Rt△AFD與Rt△CDG中，

∴Rt△AFD≌Rt△CDG，
∴∠ADF=∠CDG，
∴∠FDG=∠ADC=90°，
∴△FDG是等腰直角三角形，
∵DH⊥CF，

∵HP⊥AB，HQ⊥AD，∠A=90°，
∴四邊形APHQ是矩形，
∴∠PHQ=90°，
∵∠DHF=90°，
∴∠PHF=∠DHQ，

又在△PFF與△DQH中有:

∴△HPF≌△DHQ，
∴HP=HQ，所以矩形APHQ是正方形；
設正方形APHQ邊長為a，則在Rt△MQH中，有（a-3）2+a2=17，解得a=4；
∴FP=QD=AD-AQ=6-4=2，
又易證△FPH∽△EHG，

則有，即,

又FH2=22+42=20，PH=4，
∴EG=5
故答案為：5．