Question

【題目】探究題：

（1）問題發現：如圖1，和均為等邊三角形，點、、在同一直線上，連接.填空：①的度數為______（直接寫出結論，不用證明）.

②線段、之間的數量關系是______（直接寫出結論，不用證明）.

（2）拓展探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，點、、在同一直線上，為中邊上的高，連接.請判斷的度數及線段、、之間的數量關系，并說明理由.

（3）解決問題：在（2）問的條件下，若，，試求的面積（用，表示）.

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2），， 理由見解析； （3）.

【解析】

（1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．由點A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數；

（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度數，證出AD＝BE；由△DCE為等腰直角三角形及CM為△DCE中DE邊上的高可得CM＝DM＝ME，從而證到AE＝2CH＋BE；

（3）由（2）知，BE＝AD＝x＋y，AE＝BE＋2CM＝x＋y＋2（xy）＝3xy，根據三角形的面積公式即可得到結論．

解：（1）∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，

∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．

∴∠ACD＝∠BCE．

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）．

∴∠ADC＝∠BEC．

∵△DCE為等邊三角形，

∴∠CDE＝∠CED＝60°．

∵點A，D，E在同一直線上，

∴∠ADC＝120°．

∴∠BEC＝120°．

∴∠AEB＝∠BEC∠CED＝60°．

②∵△ACD≌△BCE，

∴AD＝BE．

故答案為①.②.

（2）猜想：①，②.

理由如下：如圖，

∵和均為等腰直角三角形，

∴，，.

∴.

在和中，

，

∴，

∴，.

∵為等腰直角三角形，

∴.

∵點，，在同一直線上，

∴，

∴.

∴.

∵，，

∴.

∵，

∴，

∴.

（3）由（2）知，，

，

∴

.