Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，連接BC，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從A向B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q以每秒 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從B向C運(yùn)動(dòng)，P、Q同時(shí)出發(fā)，連接PQ，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）如圖1，當(dāng)△BPQ為直角三角形時(shí)，求t的值；
（3）如圖2，過點(diǎn)Q作QN⊥x軸于N，交拋物線于點(diǎn)M，連結(jié)MC，MB，當(dāng)t為何值時(shí)，△MCB的面積最大，并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)和△MCB面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，

∴拋物線的解析式為y=（x+1）（x﹣3），整理得：y=x2﹣2x﹣3．

（2）

解：∵當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣3，

∴C（0，﹣3）．

∴OB=OC．

∴∠PBQ=45°．

如圖1所示：當(dāng)∠PQB=90°時(shí)．則PB= BQ．

∵AP=t，BQ= t，AB=4，

∴AP+PB=t+2t=4．

∴t= ．

如圖2所示：當(dāng)∠QPB=90°時(shí)．

∵∠PBQ=45°，∠BPQ=90°，

∴PB= BQ= × t=t．

∵AP=t，AB=4，

∴t+t=4．

解得：t=2．

綜上所述，當(dāng)t=2或t= 時(shí)，△BPQ為直角三角形．

（3）

解：設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b．

∵將C（0，﹣3）、B（3，0）代入得： ，解得：k=1，b=﹣3，

∴直線BC的解析式為y=x﹣3．

設(shè)M（a，a2﹣2a﹣3），則Q（a，a﹣3）．則QM=a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）=﹣a2+3a．

∵S△BCM= OBQM= ×3（﹣a2+3a）=﹣ （a2﹣3a）=﹣ （a﹣ ）2+ ，

∴當(dāng)a= 時(shí)，△BCM的面積的最大值為 ．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（ ，﹣ ）．

【解析】（1）由題意可知a=1，依據(jù)二次函數(shù)的交點(diǎn)式可知拋物線的解析式為y=（x+1）（x﹣3），然后整理即可；（2）分為∠PQB=90°和∠BPQ=90°兩種情況求解．當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，PB= QB=2t，然后依據(jù)AB=AP+PB列方程求解即可；當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，PB= QB=t，然后依據(jù)AB=AP+PB列方程求解即可；（3）先求得直線BC的解析式，然后設(shè)M（a，a2﹣2a﹣3），則Q（a，a﹣3）．則QM=﹣a2+3a．由S△BCM= OBQM，得到△BCN的面積與a的函數(shù)關(guān)系式，然后依據(jù)配方法可求得△BCN的面積的最大值以及點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)，以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．