Question

19．圖1和圖2，半圓O的直徑AB=2，點P（不與點A，B重合）為半圓上一點，將圖形延BP折疊，分別得到點A，O的對稱點A′，O′，設∠ABP=α．

（1）當α=15°時，過點A′作A′C∥AB，如圖1，判斷A′C與半圓O的位置關系，并說明理由．
（2）如圖2，當α=45°時，BA′與半圓O相切．當α=30°時，點O′落在$\widehat{PB}$上．

Answer 1

分析 （1）過O作OD⊥A′C于點D，交A′B于點E，利用含30°角的直角三角形的性質可求得DE+OE=$\frac{1}{2}$A′B=$\frac{1}{2}$AB=OA，可判定A′C與半圓相切；
（2）當BA′與半圓相切時，可知OB⊥A′B，則可知α=45°，當O′在$\widehat{PB}$上時，連接AO′，則可知BO′=$\frac{1}{2}$AB，可求得∠O′BA=60°，可求得α=30°．

解答 解：（1）相切，理由如下：
如圖1，過O作OD過O作OD⊥A′C于點D，交A′B于點E，

∵α=15°，A′C∥AB，
∴∠ABA′=∠CA′B=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$A′E，OE=$\frac{1}{2}$BE，
∴DO=DE+OE=$\frac{1}{2}$（A′E+BE）=$\frac{1}{2}$AB=OA，
∴A′C與半圓O相切；
（2）當BA′與半圓O相切時，則OB⊥BA′，
∴∠OBA′=2α=90°，
∴α=45°，
當O′在$\widehat{PB}$上時，如圖2，

連接AO′，則可知BO′=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠O′AB=30°，
∴∠ABO′=60°，
∴α=30°，
故答案為：45°；30°．

點評 本題主要考查切線的判定和性質及含特殊角的直角三角形的性質，掌握切線的判定和性質是解題的關鍵，注意切線的判定方法有兩種，即①有切點時連接圓心和切點證明垂直，②無切點時作垂直證明圓心到直線的距離等于半徑．