Question

【題目】問題：如圖1，在平行四邊形ABCD中，點E是BC邊的中點，連結AE，點F是線段AE上一點，連結BF并延長，交射線CD于點G．若AF：EF＝4：1，求的值．

（1）嘗試探究：

如圖1，過點E作EH∥AB交BG于點H，則AB和EH的數量關系是．CG和EH的數量關系是，因此＝　 　．

（2）類比延伸：

在原題的條件下，若把“AF：EF＝4：1”改為“AF：EF＝n：1”（n＞0），求的值．（用含有n的式子表示）

（3）拓展遷移：

如圖2，在四邊形ABCD中，CD∥AB，點E是BC的延長線上的一點，AE與BD相交于點F．若AB：CD＝a：1（a＞0），BC：BE＝b：1（b＞0），則＝　 　．（直接用含有a、b的式子表示，不寫解答過程）

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）ab．

【解析】

（1）本問體現“特殊”的情形，＝4是一個確定的數值．根據平行線構造相似三角形，利用相似三角形性質，分別將各相關線段均統一用EH來表示，最后求得比值；

（2）本問體現“一般”的情形，＝n不再是一個確定的數值，但（1）問中的解題方法依然適用，如答圖2所示．

（3）本問體現“類比”與“轉化”的情形，將（1）（2）問中的解題方法推廣轉化到梯形中，過點E作EH∥AB交BD的延長線于點H，則有EH∥AB∥CD，根據平行線構造相似三角形，利用相似三角形性質，分別將各相關線段均統一用EH來表示，最后求得比值，如答圖3所示．

解：（1）∵EH∥AB

∴△ABF∽△EHF，

∴＝＝4，

∴AB＝4EH．

∵平行四邊形ABCD中，EH∥AB，

∴EH∥CD，

∴△BEH∽△BCG．

∴＝＝2，

∴CG＝2EH．

∴＝＝＝2．

故答案為：2．

（2）如圖2所示，作EH∥AB交BG于點H，

則△EFH∽△AFB．

∴＝＝n，

∴AB＝nEH．

∵AB＝CD，

∴CD＝nEH．

∵EH∥AB∥CD，

∴△BEH∽△BCG．

∴＝＝2，

∴CG＝2EH．

∴＝＝．

（3）如圖3所示，過點E作EH∥AB交BD的延長線于點H，則有EH∥AB∥CD．

∵EH∥CD，

∴△BCD∽△BEH，

∴＝＝b，

∴CD＝bEH．

又＝a，

∴AB＝aCD＝abEH．

∵EH∥AB，

∴△ABF∽△EHF，

∴＝＝＝ab，

故答案為：ab．