Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于，兩點在的左側），與軸交于點，點與關于拋物線的對稱軸對稱．

(1)求拋物線的解析式及點的坐標；

(2)點是拋物線上的一點，當的面積是8，求出點的坐標；

(3)過直線下方的拋物線上一點作軸的平行線，與直線交于點，已知點的橫坐標是，試用含的式子表示的長及△ADM的面積，并求當的長最大時的值．

Answer 1

【答案】【解析】（1）y=（x-1）2-4， 點D的坐標為（2，-3）；(2)點P的坐標為或或(1,-4)；（3）當,，當MN的長最大時S的值為.

【解析】

（1）根據點C的坐標，利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出n值，進而可得出拋物線的解析式，由拋物線的解析式利用二次函數的性質可得出拋物線的對稱軸，結合點C的坐標可得出點D的坐標；
（2）利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點A，B的坐標及AB的長，設點P的坐標為（a，b），由三角形的面積公式結合△ABP的面積是8，可求出b值，再利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點P的坐標；
（3）根據點A，D的坐標利用待定系數法可求出直線AD的解析式，由點M的橫坐標為m可得出點M，N的坐標，進而可得出MN的長，結合S=S△AMN+S△DMN可用含m的式子表示△ADM的面積S，再利用二次函數的性質即可解決最值問題．

解：（1）把C（0，-3）代入y=（x-1）2+n，得，-3=（0-1）2+n，

解得n=-4，∴拋物線的解析式為y=（x-1）2-4，

∴拋物線的對稱軸為直線x=1∵點D與點C關于拋物線的對稱軸對稱，

∴點D的坐標為（2，-3）．

（2）當y=0時，（x-1）2-4=0，
解得：x1=-1，x2=3，
∴點A的坐標為（-1，0），點B的坐標為（3，0），AB=3-（-1）=4．
設點P的坐標為（a，b），
∵△ABP的面積是8，
∴AB|b|=8，即

×4|b|=8，
∴b=±4．
當b=4時，（a-1）2-4=4，解得：a1=1-2，a2=1+2，
∴點P的坐標為（1-2，4）或（1+2，4）；
當b=-4時，（a-1）2-4=-4，解得：a3=a4=1，
∴點P的坐標為（1，-4）．
∴當△ABP的面積是8，點P的坐標為（1-2，4）或（1+2，4）或（1，-4）．

（3）設直線AD的解析式為y=kx+c（k≠0），
將A（-1，0），D（2，-3）代入y=kx+c，得：

，
解得：，
∴直線AD的解析式為y=-x-1．
∵點M的橫坐標是m（-1＜m＜2），
∴點M的坐標為（m，（m-1）2-4），點N的坐標為（m，-m-1），
∴MN=-m-1-[（m-1）2-4]=-m2+m+2（-1＜m＜2），S=S△AMN+S△DMN=MN（m+1）+MN（2-m）=mn=-m2+m+3（-1＜m＜2）．
∵MN=-m2+m+2=-（m-）2+，-1＜0，
∴當m=時，MN取得最大值，最大值為，此時S的值為×=，
∴當MN的長最大時S的值為．