Question

【題目】在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在邊AB、BC上，DE、AF交于點M．

（1）如圖1，E為AB的中點，AF⊥BC交BC于點F，過點E作EN⊥AF交AF于點N，，直接寫出的值是　 　；

（2）如圖2，∠B＝90°，∠ADE＝∠BAF，求證：△AEM∽△AFB；

（3）如圖3，∠B＝60°，AB＝AD，∠ADE＝∠BAF，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析．

【解析】

（1）證明EN∥BF，得出；

（2）證明四邊形ABCD是矩形，得出∠BAD＝∠ABC＝90°，則∠AED＝∠AFB，可得出結論；

（3）連接AC，過點B作BP∥AC交AF的延長線于點P，證明△BFP∽△CFA，得出，證明△ADE≌△BAP（ASA），得出AE＝BP，則可得出結論．

解：（1）∵EN⊥AF，BF⊥AF，

∴EN∥BF，

又∵E為AB的中點，

∴BF＝2EN，

∵，

∴，

∴，

故答案為：；

（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC＝90°，

∴四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝∠ABC＝90°，

∵∠ADE＝∠BAF，

∴∠BAD﹣∠BAF＝∠ABC﹣∠BAF

∴∠AED＝∠AFB，

又∵∠BAF＝∠MAE，

∴△AEM∽△AFB；

（3）證明：如圖，連接AC，過點B作BP∥AC交AF的延長線于點P，

∴△BFP∽△CFA，

∴，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝AD，

∴四邊形ABCD是菱形，

∵∠ABC＝60°，

∴∠PBC＝∠ACB＝60°，

∴∠ABP＝120°，

∴∠DAE＝∠ABP，

在△ADE與△BAP中，

，

∴△ADE≌△BAP（ASA），

∴AE＝BP，

又∵AC＝AD，

∴．