Question

【題目】(2016廣西省南寧市第21題)在圖“書香八桂，閱讀圓夢”讀數活動中，某中學設置了書法、國學、誦讀、演講、征文四個比賽項目如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分線，點O在AB上，以點O為圓心，OB為半徑的圓經過點D，交BC于點E．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若OB=10，CD=8，求BE的長．

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、12.

【解析】

試題分析：(1)、連接OD，由BD為角平分線得到一對角相等，根據OB=OD，等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到一對內錯角相等，進而確定出OD與BC平行，利用兩直線平行同位角相等得到∠ODA為直徑，即可得證；(2)、由OD與BC平行得到三角形OAD與三角形BAC相似，由相似得比例求出OA的長，進而確定出AB的長，連接EF，過O作OG垂直于BC，利用勾股定理求出BG的長，由BG+GC求出BC的長，再由三角形BEF與三角形BAC相似，由相似得比例求出BE的長即可．

試題解析：(1)、連接OD， ∵BD為∠ABC平分線， ∴∠1=∠2， ∵OB=OD， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3，

∴OD∥BC， ∵∠C=90°， ∴∠ODA=90°， 則AC為圓O的切線；

(2)、過O作OG⊥BC， ∴四邊形ODCG為矩形， ∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，

在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6， ∴BC=BG+GC=6+10=16， ∵OD∥BC，

∴△AOD∽△ABC， ∴=，即=， 解得：OA=， ∴AB=+10=，

連接EF， ∵BF為圓的直徑， ∴∠BEF=90°， ∴∠BEF=∠C=90°， ∴EF∥AC，

∴=，即=， 解得：BE=12．