Question

【題目】如圖，已知以Rt△ABC的邊AB為直徑作△ABC的外接圓⊙O，∠B的平分線BE交AC于D，交⊙O于E，過E作⊙O切線EF交BA的延長線于F.

(1)如圖1，求證：EF∥AC；

(2)如圖2，OP⊥AO交BE于點P，交FE的延長線于點M.求證：△PME是等腰三角形；

(3)如圖3，在(2)的條件下：EG⊥AB于H點，交⊙O于G點，交AC于Q點，若sinF=，EQ=5，求PM的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）PM=.

【解析】

（1）連接OE，若要證明EF∥AC，則可轉化為證明∠F=∠CAB即可；

（2）連接OC，OE，由已知條件易證∠MEP=∠MPE，所以可得MP=ME，進而證明△PME是等腰三角形；

（3）連接OE，首先證明AQ=EQ=5，則EH的長可求出，設OE=x，則OH=AO-AH=x-4，在Rt△EHO中，x2=82+（x-4）2，可求出OE的長，即圓的半徑，再由垂徑定理可證明OE⊥AC，進而可證明∠EOM=∠CAB，由銳角三角函數值即可求出EM的值，繼而PM的長可求出．

解：（1）證明：連接OE，

∵EF是圓的切線，

∴OE⊥FE，

∴∠F+∠FOE=90°，

∴AB為直徑，

∴∠C=90°，

∴∠ABC+∠CAB=90°，

∵OE=OB，

∴∠OEB=∠OBE，

∵BE是∠B的平分線，

∴∠OBE=∠CBE，

∵∠FOE=∠OEB+∠OBE，

∴∠EOF=∠ABC，

∴∠F=∠CAB，

∴EF∥AC；

（2）連接OE，

∵OP⊥AO交BE于點P，

∴∠OPB+∠OBE=90°，

∵∠MEP+∠OEP=90°，∠OEP=9∠OBE，

∴∠OPB=∠MEB，

又∵∠OPB=∠EPM，

∴∠MEB=∠EPM，

∴MP=ME，

∴△PME是等腰三角形；

（3）連接OE，

∵EG⊥AB于H點，

∴弧AE=弧AG，

∴∠AEG=∠ABE，

∵∠ABE=∠EAC，

∴∠EAC=∠AEG，

∴AQ=EQ=5，

∵∠F=∠CAB，

∴sinF=sin∠CAB==，

∴QH=3，

∴AH==4，

∴EH=EQ+QH=8，

設OE=x，則OH=AO-AH=x-4，

在Rt△EHO中，x2=82+（x-4）2，

解得：x=10，

∴OE=10，

∵BE是∠B的平分線，

∴弧CE=弧AE，

∴OE⊥AC，

∴∠CAB+∠AOD=90°，

∵∠EOM+∠AOD=90°，

∴∠EOM=∠CAB，

∴sin∠EOM=，

設ME=3x，OM=5x，則OE=4x，

∴tan∠EOM= ，

∴ME=，

∴PM=ME=．