Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx－2與x軸交于點(diǎn)A(－3,0)、B(1,0)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式．

（2）在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)D，使得△ABD的面積等于△ABC的面積的倍？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）若點(diǎn)E是以點(diǎn)C為圓心且1為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段OF的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，理由見(jiàn)解析；D(－4, )或（2，）；（3）最大值； 最小值

【解析】

（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式計(jì)算即可得到；

（2）點(diǎn)D應(yīng)在x軸的上方或下方，在下方時(shí)通過(guò)計(jì)算得△ABD的面積是△ABC面積的倍，判斷點(diǎn)D應(yīng)在x軸的上方，設(shè)設(shè)D(m,n)，根據(jù)面積關(guān)系求出m、n的值即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）設(shè)E(x,y)，由點(diǎn)E是以點(diǎn)C為圓心且1為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn),用兩點(diǎn)間的距離公式得到點(diǎn)E的坐標(biāo)為E,再根據(jù)點(diǎn)F是AE中點(diǎn)表示出點(diǎn)F的坐標(biāo)，再設(shè)設(shè)F(m,n),再利用m、n、與x的關(guān)系得到n=，通過(guò)計(jì)算整理得出，由此得出F點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，再計(jì)算最大值與最小值即可.

解：（1）將點(diǎn)A(－3,0)、B(1,0)代入y＝ax2＋bx－2中，得

，解得，

∴

（2）若D在x軸的下方，當(dāng)D為拋物線(xiàn)頂點(diǎn)（－1，）時(shí)，，

△ABD的面積是△ABC面積的倍，

，所以D點(diǎn)一定在x軸上方．

設(shè)D(m,n), △ABD的面積是△ABC面積的倍，

n＝

＝m＝－4或m＝2

D(－4, )或（2，）

（3）設(shè)E(x,y),

∵點(diǎn)E是以點(diǎn)C為圓心且1為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，

∴,

∴y=,

∴E,

∵F是AE的中點(diǎn),

∴F的坐標(biāo),

設(shè)F(m,n),

∴m=,n=,

∴x=2m+3,

∴n=,

∴2n+2=,

∴(2n+2)2=1-(2m+3)2,

∴4(n+1)2+4()2=1,

∴,

∴F點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，

∴最大值：，

最小值：

最大值； 最小值