Question

【題目】如圖1，點C將線段AB分成兩部分，如果，那么稱點C為線段AB的黃金分割點。某研究小組在進行課題學習時，由黃金分割點聯想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1，S2，如果，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線。

（1）研究小組猜想：在△ABC中，若點D為AB邊上的黃金分割點（如圖2），則直線CD是△ABC的黃金分割線。你認為對嗎？為什么？

（2）請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？

（3）研究小組在進一步探究中發現：過點C任作一條直線交AB于點E，再過點D作直線DF∥CE，交AC于點F，連接EF（如圖3），則直線EF也是△ABC的黃金分割線。請說明理由。

（4）如圖4，點E是平行四邊形ABCD的邊AB的黃金分割點，過點E作EF∥AD，交DC于點F，顯然直線EF是平行四邊形ABCD的黃金分割線，請你畫一條平行四邊形ABCD的黃金分割線，使它不經過平行四邊形ABCD各邊黃金分割點．

Answer 1

【答案】（1）直線CD是△ABC的黃金分割線．理由見解析；（2）三角形的中線不可能是該三角形的黃金分割線．理由見解析；（3）理由見解析；（4）作圖見解析.

【解析】試題分析：（1）若點D為AB邊上的黃金分割點，則有．如果設△ABC的邊AB上的高為h，根據三角形的面積公式，易得， ，即有，根據圖形的黃金分割線的定義即可判斷；

（2）由于等底同高的兩個三角形的面積相等，所以三角形任意一邊上的中線都將三角形分成面積相等的兩部分，即有s1＝s2＝s，則，從而可知三角形的中線不可能是該三角形的黃金分割線；

（3）由于直線CD是△ABC的黃金分割線，所以．要想說明直線EF也是△ABC的黃金分割線，只需證明，即證S△ADC=S△AEF，S△BDC=S四邊形BEFC即可．因為DF∥CE，所以△DFC和△DFE的公共邊DF上的高也相等，所以有S△DFC=S△DFE，所以S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，S△BDC=S四邊形BEFC．

（4）根據黃金分割線的定義即可作出．本題答案不唯一，作法有無數種．

試題解析：（1）直線CD是△ABC的黃金分割線．理由如下：

設△ABC的邊AB上的高為h．

則S△ADC＝ADh，S△BDC＝BDh，S△ABC＝ABh，

∴， ，

又∵點D為邊AB的黃金分割點，

∴，

∴．

故直線CD是△ABC的黃金分割線．

（2）∵三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，

∴s1＝s2＝s，則，

故三角形的中線不可能是該三角形的黃金分割線．

（3）∵DF∥CE，

∴△DFC和△DFE的公共邊DF上的高也相等，

∴S△DFC=S△DFE，

∴S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，S△BDC=S四邊形BEFC．

又∵．，

∴．

因此，直線EF也是△ABC的黃金分割線．

（4）畫法不惟一，現提供兩種畫法；

畫法一：如答圖1，取EF的中點G，再過點G作一條直線分別交AB，DC于M，N點，則直線MN就是平行四邊形ABCD的黃金分割線．

畫法二：如答圖2，在DF上取一點N，連接EN，再過點F作FM∥NE交AB于點M，連接MN，則直線MN就是平行四邊形ABCD的黃金分割線．