Question

【題目】定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形，連結它的兩個非直角頂點的線段叫做這個損矩形的直徑。

（1）如圖1，損矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，則該損矩形的直徑是線段AC，同時我們還發現損矩形中有公共邊的兩個三角形角的特點，在公共邊的同側的兩個角是相等的。如圖1中：△ABC和△ABD有公共邊AB，在AB同側有∠ADB和∠ACB，此時∠ADB＝∠ACB；再比如△ABC和△BCD有公共邊BC，在CB同側有∠BAC和∠BDC，此時∠BAC＝∠BDC。請再找一對這樣的角來 ＝

（2）如圖2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC為一邊向形外作菱形ACEF，D為菱形ACEF的中心，連結BD，當BD平分∠ABC時，判斷四邊形ACEF為何種特殊的四邊形？請說明理由。

（3）在第（2）題的條件下，若此時AB＝，BD＝，求BC的長。

Answer 1

【答案】（1）∠ABD=∠ACD；（2）四邊形ACEF為正方形，理由見解析；（3）5.

【解析】

（1）以AD為公共邊，有∠ABD=∠ACD；

（2）證明△ADC是等腰直角三角形，得AD=CD，則AE=CF，根據對角線相等的菱形是正方形可得結論；

（3）如圖2，作輔助線構建直角三角形，證明△ABC≌△CHE，得CH=AB=3，根據平行線等分線段定理可得BG=GH=4，從而得結論.

解：（1）由圖1得：△ABD和△ADC有公共邊AD，在AD同側有∠ABD和∠ACD，此時∠ABD=∠ACD；

（2）四邊形ACEF為正方形，理由是：

∵∠ABC=90°，BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD=45°

∴∠DAC=∠CBD=45°

∵四邊形ACEF是菱形，

∴AELCF，

∴∠ADC=90°，

∴△ADC是等腰直角三角形，

∴AD=CD，.AE=CF，

∴菱形ACEF是正方形；

（3）如圖2，過D作DG⊥BC于G，過E作EH⊥BC，交BC的延長線于H，

∵∠DBG=45°，

∴△BDG是等腰直角三角形，BD=4，

∵BG=4，四邊形ACEF是正方形，

∴AC=CE，∠ACE=90°，AD=DE，

易得△ABC≌△CHE，

∴CH=AB=3，AB//DG//EH，AD=DE，

∴BG=GH=4，

∴CG=4-3=1，

∴BC=BG+CG=4+1=5.