Question

有兩個全等的等腰直角三角板ABC和EFG其直角邊長均為6（如圖1所示）疊放在一起，使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合．現將三角板EFG繞O點順時針旋轉，旋轉角滿足0＜º＜90º，四邊形CHGK是旋轉過程中兩塊三角板的重疊部分（如圖2）．

（1）在上述旋轉過程中，①BH與CK有怎樣的數量關系？②四邊形CHGK的面積是否發生變化？并證明你發現的結論．
（2）如圖，連接KH，在上述旋轉過程中，是否存在某一位置使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的？若存在，請求出此時KC的長度；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1) ①BH=CK，②不變；（2）x=2或x=4

試題分析：（1）先由ASA證出△CGK≌△BGH，再根據全等三角形的性質得出BH=CK，根據全等得出四邊形CKGH的面積等于三角形ACB面積一半；
（2）根據面積公式得出，根據△GKH的面積恰好等于△ABC面積的，代入得出方程即可求得結果．
（1）BH與CK的數量關系：BH=CK，理由是：
連接OC，由直角三角形斜邊上中線性質得出OC=BG，

∵AC=BC，O為AB中點，∠ACB=90°，
∴∠B=∠ACG=45°，CO⊥AB，
∴∠CGB=90°=∠KGH，
∴都減去∠CGH得：∠BGH=∠CGK，
在△CGK和△BGH中，
∠KCG=∠B，CG=BG，∠KGC=∠BGH，
∴△CGK≌△BGH（ASA），
∴CK=BH，即BH=CK；
四邊形CHGK的面積的變化情況：四邊形CHGK的面積不變，始終等于四邊形CQGZ的面積，即等于△ACB面積的一半，等于9；
（2）假設存在使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的的位置．

設BH=x，由題意及（1）中結論可得，CK=BH=x，CH=CB-BH=6-x，
，
，
∵△GKH的面積恰好等于△ABC面積的，
，
解得x=2或x=4，
∴存在使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的的位置，此時x的值為2或4.
點評：解答本題的關鍵是掌握旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等，旋轉前后圖形的大小和形狀沒有改變．