Question

【題目】已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，垂足為O．

(1)如圖1，連接AF、CE求證：四邊形AFCE為菱形；

(2)如圖1，求AF的長；

(3)如圖2，動點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動一周．即點(diǎn)P自A→F→B→A停止，點(diǎn)Q自C→D→E→C停止．在運(yùn)動過程中，點(diǎn)P的速度為每秒1cm，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．若點(diǎn)Q的速度為每秒0.8cm，當(dāng)A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AF=5cm；（3）

【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和已知條件利用ASA證明△AOE≌△COF，可得OE=OF，進(jìn)而可得四邊形AFCE是平行四邊形，然后由EF⊥AC即可證得結(jié)論；

（2）設(shè)AF=xcm，則易得CF=xcm，BF=(8－x)cm，然后在Rt△ABF中，由勾股定理建立關(guān)于x的方程，解方程即得結(jié)果；

（3）分為三種情況：第一、P在AF上，由P、Q兩點(diǎn)的速度即可進(jìn)行判斷；第二、當(dāng)P在BF上時，Q在CD或DE上，其中只有當(dāng)Q在DE上時，以A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形才有可能是平行四邊形，如圖，用含t的代數(shù)式分別表示出AQ和CP，從而可得關(guān)于t的方程，解方程即得結(jié)果；第三情況：當(dāng)P在AB上時，Q在DE或CE上，由P、Q兩點(diǎn)的位置即可進(jìn)行判斷．

(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠EAO=∠FCO，

∵EF是AC的垂直平分線，

∴OA=OC，

∵∠AOE=∠COF，

∴ΔAOE≌ΔCOF（ASA），

∴OE=OF，

∵OA=OC，

∴四邊形AFCE是平行四邊形，

∵EF⊥AC，

∴平行四邊形AFCE是菱形；

（2）∵四邊形AFCE是菱形，

∴AF=FC，

設(shè)AF=xcm，則CF=xcm，BF=(8－x)cm，

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90°，

則在RtΔABF中，由勾股定理得：，

解得：x=5，即AF=5cm；

(3)分為三種情況：

第一、P在AF上，∵P的速度是1cm/s，而Q的速度是0.8cm/s，

∴Q只能在CD上，此時以A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形不是平行四邊形；

第二、當(dāng)P在BF上時，Q在CD或DE上，其中只有當(dāng)Q在DE上時，以A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形才有可能是平行四邊形，如圖，

∵AQ=8－(0.8t－4)，CP=5+(t－5)，

∴8－(0.8t－4)=5+(t－5)，

解得：；

第三情況：當(dāng)P在AB上時，Q在DE或CE上，此時以A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形不是平行四邊形；

綜上所述，當(dāng)時，以A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．