Question

【題目】問題原型：如圖①，在銳角△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于點D，在AD上取點E，使DE＝CD，連結BE．求證：BE＝AC．

問題拓展：如圖②，在問題原型的條件下，F為BC的中點，連結EF并延長至點M，使FM＝EF，連結CM．

（1）判斷線段AC與CM的大小關系，并說明理由．

（2）若AC=，直接寫出A、M兩點之間的距離．

Answer 1

【答案】問題原型：見解析； 問題拓展：（1）AC＝CM，理由見解析；（2）AM＝．

【解析】

根據題意證出△BDE≌△ADC即可得出答案；

證出△BEF≌△CMF即可得出答案；

（2）連接AM，求出∠ACM＝90°，即可求出A

問題原型：∵AD⊥BC，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∵∠ABC＝45°，

∴∠BAD＝45°，

∴∠ABC＝∠BAD，

∴AD＝BD，

在△BDE和△ADC中，

∵，

∴△BDE≌△ADC（SAS），

∴BE＝AC，

問題拓展：（1）AC＝CM，理由：

∵點F是BC中點，

∴BF＝CF，

在△BEF和△CMF中，

∵，

∴△BEF≌△CMF（SAS），

∴BE＝CM，

由（1）知，BE＝AC，

∴AC＝CM；

（2）如圖②，

連接AM，由（1）知，△BDE≌△ADC，

∴∠BED＝∠ACD，

由（2）知，△BEF≌△CMF，

∴∠EBF＝∠BCM，

∴∠ACM＝∠ACD+∠BCM＝∠BED+∠EBF＝90°，

∵AC＝CM，

∴AM＝AC＝．