Question

如圖，在?ABCD中，BD為對角線，EF垂直平分BD分別交AD、BC的于點E、F，交BD于點O．

（1）試說明：BF=DE；
（2）試說明：△ABE≌△CDF；
（3）如果在?ABCD中，AB=5，AD=10，有兩動點P、Q分別從B、D兩點同時出發，沿△BAE和△DFC各邊運動一周，即點P自B→A→E→B停止，點Q自D→F→C→D停止，點P運動的路程是m，點Q運動的路程是n，當四邊形BPDQ是平行四邊形時，求m與n滿足的數量關系．（畫出示意圖）

Answer 1

分析：（1）根據ASA證△EOD≌△FOB即可；
（2）推出DE=BF，根據平行四邊形性質求出∠A=∠C，推出AE=CF，根據SAS證△ABE≌△CDF即可；
（3）分為三種情況，求出△DFC的周長，每種情況m+n都等于△DFC的周長．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO=∠FBO，
∵EF垂直平分BD，
∴OB=OD，
在△EOD和△FOB中，
∵

∠EOD=∠FOB OD=OB ∠EDO=∠FBO

，
∴△EOD≌△FOB（ASA），
∴BF=DE；

（2）證明：∵△EOD≌△FOB，
∴DE=BF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A=∠C，AB=CD，AD=BC，
∴AD-DE=BC-BF，
∴AE=CF，
在△ABE和△CDF中，
∵

AB=CD ∠A=∠C AE=CF

　
∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（3）解：∵EF垂直平分BD，
∴BF=DF，
∵△ABE≌△CDF，
∴DF=BE，AE=CF，
∴△DFC的周長是DF+CF+CD=BF+CF+CD=BC+CD=15，
△ABE的周長也是15，
①當P在AB上，Q在CD上，
∵AB∥CD，
∴∠BPO=∠DQO，
∵∠POB=∠DOQ，OB=OD，
∴△BPO≌△DQO，
∴BP=DQ，
∴m+n
=BP+DF+CF+CQ
=DF+CF+CQ+DQ
=DF+CF+CD
=15    　　　    
 ②當P在AE上，Q在CF上，
∵AD∥BC，
∴∠PEO=∠QFO，
∵△EOD≌△FOB，
∴OE=OF，
∵∠PEO=∠QFO，∠EOP=∠FOQ，
∴△PEO≌△QFO，
∴PE=QF，
∵AE=CF，
∴CQ=AP，
m+n
=AB+AP+DF+PQ
=CD+CQ+DF+FQ
=DF+CF+CD
=15；
③當P在BE上，Q在DF上，
∵AD=BC，AE=CF，
∴DE=BF，
∵DE∥BF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∴BE=DF，BE∥DF，
∴∠PEO=∠FQO，
∵∠EOP=∠FOQ，OE=OF，
∴△PEO≌△FQO，
∴PE=FQ，
∴m+n
=AB+AE+PE+DQ
=CD+CF+QF+DQ
=DF+CF+CD
=15．

點評：本題考查了平行四邊形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，平行線的性質和判定的綜合運用．