Question

（2011•犍為縣模擬）甲題：已知關于x的一元二次方程x²=2（1-m）x-m²的兩實數根為x₁，x₂．
（1）求m的取值范圍；
（2）設y=x₁+x₂，當y取得最小值時，求相應m的值，并求出最小值．
乙題：如圖，在?ABCD中，BE⊥AD于點E，BF⊥CD于點F，AC與BE、BF分別交于點G，H．
（1）求證：△BAE∽△BCF．
（2）若BG=BH，求證：四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

分析：甲題：（1）若一元二次方程有兩不等根，則根的判別式△=b²-4ac≥0，建立關于m的不等式，可求出m的取值范圍；
（2）根據根與系數的關系可得出x₁+x₂的表達式，進而可得出y、m的函數關系式，根據函數的性質及（1）題得出的自變量的取值范圍，即可求出y的最小值及對應的m值；
乙題：（1）先利用已知里的兩個垂直，可證一對角相等，都等于90°，再利用平行四邊形的性質，對角相等，那么可證△BAE∽△BCF；
（2）由BG=BH，可得∠3=∠4，那么∠AGE=∠CHF，利用等量減等量差相等，可證∠DAC=∠DCA，等角對等邊，那么AD=DC，那么?是菱形．

解答：甲題．
解：（1）將原方程整理為 x²+2（m-1）x+m²=0．
∵原方程有兩個實數根，
∴△=[2（m-1）]²-4m²=-8m+4≥0，得 m≤

1

2

．…（5分）
（2）∵x₁，x₂為x²+2（m-1）x+m²=0的兩根，
∴y=x₁+x₂=-2m+2，且m≤

1

2

．
因而y隨m的增大而減小，故當m=

1

2

時，取得極小值1．…（10分）

乙題．
證明（1）∵BE⊥AD，BF⊥CD
∴∠BEA=∠BFC=90°
又∵ABCD是平行四邊形，
∴∠BAE=∠BCF
∴△BAE∽△BCF …（5分）
（2）∵△BAE∽△BCF∴∠1=∠2…（6分）
又∵BG=BH
∴∠3=∠4
∴∠BGA=∠BHC …（7分）
∴△BGA≌△BHC（ASA）  …（8分）
∴AB=BC
∴四邊形ABCD為菱形 …（10分）

點評：甲題考查的知識點是根的判別式、根與系數的關系與一次函數的結合題．牢記一次函數的性質是解答（2）題的關鍵；
乙題考查的知識點是相似三角形的判定與性質、平行四邊形的性質及菱形的判定，關鍵利用了平行四邊形的性質、相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、菱形的判定等知識．